Questão 3. Calcule os seguintes limites.
ll f) lim x 3 raizx-raiz3x-3 & i) lim x 1 raiz[3]x-1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de tipo 0/0 envolvendo raízes: f) limxto3raizx-raiz3x-3 e i) limxto1raiz[3]x-1raizx-1. Vamos usar racionalização e fatoração de polinômios para eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Para f), note que ao substituir x=3 temos 0/0. Racionalizamos o numerador multiplicando por raizx+raiz3:
raizx-raiz3x-3;=;(raizx-raiz3)(raizx+raiz3)(x-3)(raizx+raiz3) ;=;x-3(x-3)(raizx+raiz3) ;=;1raizx+raiz3
Agora basta avaliar em x=3:
1raiz3+raiz3=12raiz3

Passo 3

Para i), também temos 0/0 ao substituir x=1. Definimos u=raiz[3]x e v=raizx, então u^3=v^2. Observamos:
u^3-1 = v^2-1 Longrightarrow (u-1)(u^2+u+1) = (v-1)(v+1)
Daí
raiz[3]x-1raizx-1 = u-1v-1 = v+1u^2+u+1
Ao levar xto1, temos uto1 e vto1, logo
v+1u^2+u+1g|u=v=1 = 1+11^2+1+1 = 23

Resposta

f) 12raiz3; i) 23.

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