Questão 1. Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow \pi}(\cos (0)+\operatorname{sen} x)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to \pi}\bigl(\cos(0)+\sin x\bigr).
Informações fornecidas:
  • A expressão dentro do limite é a soma de uma constante \cos(0) com a função \sin x.
  • O ponto de interesse é x \to \pi.

Passo 2

Avaliar \cos(0).
Definição prática: \cos mede a coordenada x no círculo unitário; para ângulo 0 estamos no ponto (1,0). Portanto
\cos(0)=1.
Isso significa que a parte constante da expressão vale 1.

Passo 3

Regra de limites para soma (explicação didática).
Teorema (versão informal): se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem (são finitos), então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
Intuição: aproximando x de a, os valores de f(x) e g(x) ficam próximos de seus limites; somando-os obtemos algo próximo da soma dos limites. Vamos usar essa propriedade aqui.

Passo 4

Aplicar a regra ao nosso caso: uma das funções é constante.
Se C é constante, então \lim_{x\to a} C = C. No nosso problema a constante é \cos(0)=1, logo
\lim_{x\to \pi}\cos(0)=1.

Passo 5

Avaliar \lim_{x\to \pi}\sin x.
Propriedade importante: a função \sin x é contínua em todo \mathbb{R}. Definição curta de continuidade: uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Como \sin é contínua em x=\pi, temos
\lim_{x\to \pi}\sin x=\sin(\pi).
Agora avaliar \sin(\pi): no círculo unitário, o ângulo \pi corresponde ao ponto (-1,0), cuja coordenada y é 0. Portanto
\sin(\pi)=0.

Passo 6

Somar os resultados parciais usando a propriedade da soma de limites:
\lim_{x\to \pi}\bigl(\cos(0)+\sin x\bigr)=\lim_{x\to \pi}\cos(0)+\lim_{x\to \pi}\sin x=1+0.

Passo 7

Calcular a soma final:
1+0=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados