Questão 1. Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações fornecidas:
- A expressão dentro do limite é a soma de uma constante
com a função . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Avaliar
.
Definição prática: mede a coordenada
no círculo unitário; para ângulo
estamos no ponto
. Portanto
Definição prática:
Isso significa que a parte constante da expressão vale
.
Passo 3
Regra de limites para soma (explicação didática).
Teorema (versão informal): se e
existem (são finitos), então
Teorema (versão informal): se
Intuição: aproximando
de
, os valores de
e
ficam próximos de seus limites; somando-os obtemos algo próximo da soma dos limites. Vamos usar essa propriedade aqui.
Passo 4
Aplicar a regra ao nosso caso: uma das funções é constante.
Se é constante, então
. No nosso problema a constante é
, logo
Se
Passo 5
Avaliar
.
Propriedade importante: a função é contínua em todo
. Definição curta de continuidade: uma função
é contínua em
se
. Como
é contínua em
, temos
Propriedade importante: a função
Agora avaliar
: no círculo unitário, o ângulo
corresponde ao ponto
, cuja coordenada
é
. Portanto
Passo 6
Somar os resultados parciais usando a propriedade da soma de limites:
Passo 7
Calcular a soma final: