Sejam a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} números reais fixos, nāo todos nulos. Considere a função
f\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}
e a restrição
g\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1 .
(a) Formule o problema de maximizar f sujeito a g=1 utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Escreva o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolva o sistema obtido no item anterior, mostrando que no ponto crítico temse b_{i}=\lambda a_{i} para algum \lambda real. A seguir, use a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos números a_{i}.
(c) Calcule o valor máximo de f sujeito a g=1, expressando a resposta em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) e \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), suponha que \mathbf{b} \neq \mathbf{0}. Aplique o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b} /\|\mathbf{b}\| e deduza a desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Números reais fixos \,a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}, não todos nulos.
  • A função linear em \,b_i:
f\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}.
  • A restrição (condição) sobre os b_i:
g\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
O que o enunciado pede:
(a) Formular o problema de maximização de f sujeito a g=1 usando multiplicadores de Lagrange e escrever o sistema de equações que o ponto de máximo deve satisfazer.
(b) Resolver esse sistema e mostrar que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que b_{i}=\lambda a_{i}. Em seguida, usar g=1 para determinar \lambda em função dos a_{i}.
(c) Calcular o valor máximo de f sujeito a g=1, em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) e \mathbf{b}=(b_{1},\ldots,b_{n}) com \mathbf{b}\neq\mathbf{0}, aplicar o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b}/\|\mathbf{b}\| e deduzir a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Ideia prática dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos maximizar (ou minimizar) uma função f sujeita a uma restrição g=1, buscamos pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Para operacionalizar isso, introduz-se um multiplicador escalar \mu e se forma a função de Lagrange
\mathcal{L}\left(b_{1},\ldots,b_{n},\mu\right)=f\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)-\mu\left(g\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)-1\right).
Aqui o termo \mu(g-1) força a satisfação da restrição; no ponto crítico, as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a cada variável e ao multiplicador devem ser zero.
Escrevendo \mathcal{L} explicitamente:
\mathcal{L}\left(b_{1},\ldots,b_{n},\mu\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}-\mu\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-1\right).
Agora calculamos as condições de estacionaridade (sistema de equações):
para cada i=1,\ldots,n exigimos
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial b_{i}}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{i}-2\mu b_{i}=0,
e também
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mu}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-1=0.
Portanto o sistema que deve ser satisfeito em qualquer ponto crítico (em particular no ponto de máximo) é
\boxed{a_{i}-2\mu b_{i}=0\quad\text{para }i=1,\ldots,n,\qquad \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.}

Passo 3

Resolver o sistema obtido:
Das equações a_{i}-2\mu b_{i}=0 obtemos, para todo i,
b_{i}=\frac{a_{i}}{2\mu}.
Se \mu=0 então a_i=0 para todo i, o que contraria a hipótese “não todos nulos”; portanto \mu\neq0 e a divisão é válida.
Definindo agora um novo parâmetro \lambda por
\lambda:=\frac{1}{2\mu},
temos imediatamente
\boxed{b_{i}=\lambda a_{i}\quad\text{para todo }i,}
o que é exatamente o que o enunciado pedia mostrar (a existência de algum \lambda\in\mathbb{R} com essa propriedade).
Usando a restrição \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1 substituímos b_{i}=\lambda a_{i} e obtemos
\sum_{i=1}^{n} (\lambda a_{i})^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2}\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=1.
Denotando
S:=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\quad(\text{note que }S>0\text{ porque nem todos }a_i\text{ são }0),ã
temos
\lambda^{2}S=1\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{S}}.
Observação sobre os dois sinais: ambos os sinais dão pontos críticos. Um deles dará o máximo de f e o outro dará o mínimo de f sujeito à restrição.

Passo 4

Determinar qual sinal dá o máximo e calcular o valor máximo (item (c)):
Avalie f em b_i=\lambda a_i:
f=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}(\lambda a_{i})=\lambda\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=\lambda S.
Como \lambda=\pm 1/\sqrt{S}, os dois valores críticos são
f=\pm\frac{S}{\sqrt{S}}=\pm\sqrt{S}.
Portanto o valor máximo de f sujeito a \sum b_{i}^{2}=1 é o sinal positivo:
\boxed{\max_{\,\sum b_i^2=1} \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.}
(O mínimo corresponde a -\sqrt{S}.)

Passo 5

Deduza a desigualdade de Cauchy–Schwarz (item (d)):
Sejam vetores arbitrários \mathbf{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) e \mathbf{b}=(b_{1},\ldots,b_{n}) com \mathbf{b}\neq\mathbf{0}. Defina o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|},\qquad\text{onde}\qquad \|\mathbf{b}\|:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}}.
Aplicando o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{u} (ou seja, fixando \mathbf{a} e maximizando \sum a_i u_i com \sum u_i^2=1), obtemos
\sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \|\mathbf{b}\| e lembrando que u_i=b_i/\|\mathbf{b}\|, segue
\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|,
onde \|\mathbf{a}\|:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
Para obter a desigualdade com valor absoluto, aplique a desigualdade ao vetor -\mathbf{a} ou observe que a mesma demonstração vale trocando \mathbf{a} por -\mathbf{a}, o que dá o lado negativo. Assim,
\boxed{\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}}.}
Isto é precisamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Resposta

(a) \mathcal{L}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}-\mu\!\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-1\right) com o sistema
\;a_{i}-2\mu b_{i}=0 para i=1,\ldots,n e \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}=1.
(b) b_{i}=\lambda a_{i} com \lambda=\pm\dfrac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}} (para o máximo escolhe-se o sinal +).
(c) \displaystyle \max_{\sum b_i^2=1}\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
(d) \displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right|\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}} (desigualdade de Cauchy–Schwarz).

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