(a) Formule o problema de maximizar f sujeito a g=1 utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Escreva o sistema de equações que deve ser satisfeito no ponto de máximo.
(b) Resolva o sistema obtido no item anterior, mostrando que no ponto crítico temse b_{i}=\lambda a_{i} para algum \lambda real. A seguir, use a restrição g=1 para determinar \lambda em função dos números a_{i}.
(c) Calcule o valor máximo de f sujeito a g=1, expressando a resposta em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) e \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), suponha que \mathbf{b} \neq \mathbf{0}. Aplique o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b} /\|\mathbf{b}\| e deduza a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Passo 1
O enunciado fornece:
Números reais fixos \,a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}, não todos nulos.
O que o enunciado pede:
(a) Formular o problema de maximização de f sujeito a g=1 usando multiplicadores de Lagrange e escrever o sistema de equações que o ponto de máximo deve satisfazer.
(b) Resolver esse sistema e mostrar que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que b_{i}=\lambda a_{i}. Em seguida, usar g=1 para determinar \lambda em função dos a_{i}.
(c) Calcular o valor máximo de f sujeito a g=1, em termos de \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}.
(d) Para vetores arbitrários \mathbf{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) e \mathbf{b}=(b_{1},\ldots,b_{n}) com \mathbf{b}\neq\mathbf{0}, aplicar o resultado do item (c) ao vetor \mathbf{b}/\|\mathbf{b}\| e deduzir a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Ideia prática dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando queremos maximizar (ou minimizar) uma função f sujeita a uma restrição g=1, buscamos pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Para operacionalizar isso, introduz-se um multiplicador escalar \mu e se forma a função de Lagrange
Aqui o termo \mu(g-1) força a satisfação da restrição; no ponto crítico, as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a cada variável e ao multiplicador devem ser zero.
onde \|\mathbf{a}\|:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}.
Para obter a desigualdade com valor absoluto, aplique a desigualdade ao vetor -\mathbf{a} ou observe que a mesma demonstração vale trocando \mathbf{a} por -\mathbf{a}, o que dá o lado negativo. Assim,