Questão 3. Calcule a soma da série
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Os termos da série são
para . - A soma é procurada no sentido de série numérica (soma de termos infinitos).
- Não há outras condições; é necessário decidir se a série converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Passo 2
Entendendo o tipo de série e a ferramenta que vamos usar (aula rapidinha).
Uma série geométrica é uma série cujos termos formam uma progressão geométrica: os termos têm a forma . A notação usual é
Uma série geométrica é uma série cujos termos formam uma progressão geométrica: os termos têm a forma
onde:
-
é o primeiro termo (quando a soma começa em ); -
é a razão comum entre termos (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
Propriedade essencial: se, a série geométrica converge e sua soma é dada por
Explicação de por que essa fórmula vale (prova com somas parciais):
Defina a soma parcial com (somando de
até
):
Defina a soma parcial com
Multiplicando por
e subtraindo:
Fatorando:
Se
, então
, logo
Portanto a série converge exatamente para
quando
.
Passo 3
Identificando os parâmetros da nossa série com a forma geométrica.
A série dada pode ser escrita como
A série dada pode ser escrita como
Aqui a razão comum é
Observação importante sobre convergência: como
, temos
, ou seja
. Portanto a série geométrica converge e podemos aplicar a fórmula da soma.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma para séries geométricas que começam em
.
Para uma razão com
vale
Para uma razão
Substituindo
obtemos
Agora simplificamos essa expressão multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 5
Interpretação numérica rápida (só para intuição, sem necessidade de calculadora na prova):
Como , temos
e portanto
Como
Passo 6
Exemplo extra curtinho para fixar a ideia:
Se a razão fosse , a série
teria soma
Se a razão fosse
o que ajuda a ver o funcionamento da fórmula em casos simples.