Questão 3. Calcule a soma da série
\sum_{k=1}^{+\infty} e^{-k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{+\infty} e^{-k}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Os termos da série são e^{-k} para k=1,2,3,\dots.
  • A soma é procurada no sentido de série numérica (soma de termos infinitos).
  • Não há outras condições; é necessário decidir se a série converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Entendendo o tipo de série e a ferramenta que vamos usar (aula rapidinha).
Uma série geométrica é uma série cujos termos formam uma progressão geométrica: os termos têm a forma a,ar,ar^2,\dots. A notação usual é
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde:
  • a é o primeiro termo (quando a soma começa em n=0);
  • r é a razão comum entre termos (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
    Propriedade essencial: se |r|<1, a série geométrica converge e sua soma é dada por
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Explicação de por que essa fórmula vale (prova com somas parciais):
Defina a soma parcial com N (somando de n=0 até n=N):
S_N=\sum_{n=0}^{N} a r^{n}=a+a r+\dots+a r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo:
rS_N = a r + a r^{2} + \dots + a r^{N+1},
S_N - rS_N = a - a r^{N+1}.
Fatorando:
S_N(1-r)=a(1-r^{N+1}) \quad\Rightarrow\quad S_N=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0, logo
\lim_{N\to\infty} S_N=\frac{a}{1-r}.
Portanto a série converge exatamente para \dfrac{a}{1-r} quando |r|<1.

Passo 3

Identificando os parâmetros da nossa série com a forma geométrica.
A série dada pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{\infty} e^{-k} = \sum_{k=1}^{\infty} \bigl(e^{-1}\bigr)^{k}.
Aqui a razão comum é
r = e^{-1}=\frac{1}{e}.
Observação importante sobre convergência: como e>1, temos 0<e^{-1}<1, ou seja |r|<1. Portanto a série geométrica converge e podemos aplicar a fórmula da soma.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma para séries geométricas que começam em k=1.
Para uma razão r com |r|<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}=\frac{r}{1-r}.
Substituindo r=e^{-1} obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} e^{-k}=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}.
Agora simplificamos essa expressão multiplicando numerador e denominador por e:
\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}=\frac{1}{e-1}.

Passo 5

Interpretação numérica rápida (só para intuição, sem necessidade de calculadora na prova):
Como e\approx 2,718281828\ldots, temos e-1\approx 1,718281828\ldots e portanto
\frac{1}{e-1}\approx 0,5819767069\approx 0,582.

Passo 6

Exemplo extra curtinho para fixar a ideia:
Se a razão fosse r=\tfrac{1}{2}, a série \sum_{k=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} teria soma
\frac{r}{1-r}=\frac{1/2}{1-1/2}=1,
o que ajuda a ver o funcionamento da fórmula em casos simples.

Resposta

\dfrac{1}{e-1}

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