Questão 2. Considere uma sequência de termo geral a_{n} tal que \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a. Defina a sequência \left(s_{n}\right) por
s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} .
Prove que \lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto.
  • Informações dadas:
    • Há uma sequência \left(a_n\right) tal que \displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n = a.
    • Define-se a sequência das médias aritméticas
    s_n = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.
  • O que se pede:
    • Provar que \displaystyle\lim_{n\to+\infty} s_n = a.

Passo 2

Entender exatamente o que significa \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a. Vou explicar como usar essa definição formal (a clássica de \varepsilon- N) de modo intuitivo e rigoroso.
  • Definição (explicada): \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a significa que para todo número pequeno \varepsilon>0 existe um inteiro N_0 tal que, para todo n\ge N_0, a diferença entre a_n e a é menor que \varepsilon. Em símbolos:
\forall \varepsilon>0\\ \exists N_0\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall n\ge N_0,\\ |a_n-a|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para controlar os termos de \left(a_n\right) quando n for grande.

Passo 3

Escolher um \varepsilon>0 arbitrário e usar a convergência de a_n para obter controle sobre a cauda da sequência.
  • Seja fixo um \varepsilon>0.
  • Pela convergência \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = a, existe um inteiro N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}.
Expliquei por que escolhi \varepsilon/2: é uma divisão útil do \varepsilon em duas parcelas para controlar duas partes da média (os primeiros termos, que são finitos, e os termos a partir de N_0).

Passo 4

Escrever s_n-a como média das diferenças a_k-a e separar a soma em duas partes: a parte inicial finita (índices 1 a N_0-1) e a cauda (índices N_0 a n).
  • Primeiro, escrevo a diferença:
s_n - a = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k - a).
  • Agora separo a soma em duas parcelas:
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k - a) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_0-1} (a_k - a) + \frac{1}{n}\sum_{k=N_0}^{n} (a_k - a).

Passo 5

Aplicar a desigualdade triangular para estimar o módulo de s_n-a e estimar cada parcela separadamente.
  • Pela desigualdade triangular:
|s_n - a| \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_0-1} |a_k - a| + \frac{1}{n}\sum_{k=N_0}^{n} |a_k - a|.
  • A primeira parcela é uma soma finita (os N_0-1 primeiros termos). Defino
S := \sum_{k=1}^{N_0-1} |a_k - a|.
Note que S é um número fixo e finito, pois é uma soma de um número finito de termos reais.
Assim a primeira parcela fica simplesmente \dfrac{S}{n}.
  • Para a segunda parcela, uso o fato obtido no Passo 3: para cada k\ge N_0 vale |a_k-a|<\dfrac{\varepsilon}{2}. Logo
\frac{1}{n}\sum_{k=N_0}^{n} |a_k - a| < \frac{1}{n}\cdot (n-N_0+1)\cdot \frac{\varepsilon}{2} \le \frac{\varepsilon}{2},
pois \dfrac{n-N_0+1}{n}\le 1.

Passo 6

Juntar as estimativas e escolher N que funcione para qualquer \varepsilon.
  • Reunindo as desigualdades:
|s_n - a| \le \frac{S}{n} + \frac{\varepsilon}{2}.
  • Agora faço a escolha de n grande o suficiente para tornar \dfrac{S}{n} pequena. Escolho um inteiro N tal que
N \ge N_0 \quad\text{e}\quad \frac{S}{N} < \frac{\varepsilon}{2}.
Isto é possível porque \dfrac{S}{n}\to 0 quando n\to\infty: basta pegar N > \dfrac{2S}{\varepsilon} (por exemplo N=\max\{N_0,\lfloor 2S/\varepsilon\rfloor +1\}).
  • Para todo n\ge N teremos \dfrac{S}{n} < \dfrac{\varepsilon}{2} e também a estimativa da cauda \dfrac{1}{n}\sum_{k=N_0}^{n} |a_k - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}. Então, para todo n\ge N,
|s_n - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 7

Concluir a prova e interpretar o resultado.
  • Conseguimos mostrar que para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |s_n-a|<\varepsilon. Pela definição \varepsilon- N de limite, isso significa exatamente que
\lim_{n\to\infty} s_n = a.
  • Intuição rápida (para fixar): a média aritmética de muitos termos aproxima a média dos termos grandes; como os termos grandes a_n ficam arbitrariamente perto de a, a média também fica perto de a. Formalizamos isso separando os primeiros poucos termos (que influenciam cada vez menos a média à medida que n cresce) da cauda, onde todos os termos já estão muito próximos de a.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to+\infty} s_n = a

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