Questão 2. Considere uma sequência de termo geral
tal que
. Defina a sequência
por
Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto.
-
Informações dadas:
- Há uma sequência
tal que . - Define-se a sequência das médias aritméticas
- Há uma sequência
-
O que se pede:
- Provar que
.
- Provar que
Passo 2
Entender exatamente o que significa
. Vou explicar como usar essa definição formal (a clássica de
-
) de modo intuitivo e rigoroso.
- Definição (explicada):
significa que para todo número pequeno existe um inteiro tal que, para todo , a diferença entre e é menor que . Em símbolos:
Vou usar essa definição para controlar os termos de
quando
for grande.
Passo 3
Escolher um
arbitrário e usar a convergência de
para obter controle sobre a cauda da sequência.
- Seja fixo um
. - Pela convergência
, existe um inteiro tal que, para todo ,
Expliquei por que escolhi
: é uma divisão útil do
em duas parcelas para controlar duas partes da média (os primeiros termos, que são finitos, e os termos a partir de
).
Passo 4
Escrever
como média das diferenças
e separar a soma em duas partes: a parte inicial finita (índices
a
) e a cauda (índices
a
).
- Primeiro, escrevo a diferença:
- Agora separo a soma em duas parcelas:
Passo 5
Aplicar a desigualdade triangular para estimar o módulo de
e estimar cada parcela separadamente.
- Pela desigualdade triangular:
- A primeira parcela é uma soma finita (os
primeiros termos). Defino
Note que
é um número fixo e finito, pois é uma soma de um número finito de termos reais.
Assim a primeira parcela fica simplesmente .
Assim a primeira parcela fica simplesmente
- Para a segunda parcela, uso o fato obtido no Passo 3: para cada
vale . Logo
pois
.
Passo 6
Juntar as estimativas e escolher
que funcione para qualquer
.
- Reunindo as desigualdades:
- Agora faço a escolha de
grande o suficiente para tornar pequena. Escolho um inteiro tal que
Isto é possível porque
quando
: basta pegar
(por exemplo
).
- Para todo
teremos e também a estimativa da cauda . Então, para todo ,
Passo 7
Concluir a prova e interpretar o resultado.
- Conseguimos mostrar que para qualquer
existe tal que, para todo , . Pela definição - de limite, isso significa exatamente que
- Intuição rápida (para fixar): a média aritmética de muitos termos aproxima a média dos termos grandes; como os termos grandes
ficam arbitrariamente perto de , a média também fica perto de . Formalizamos isso separando os primeiros poucos termos (que influenciam cada vez menos a média à medida que cresce) da cauda, onde todos os termos já estão muito próximos de .