Informações dadas: n é um índice que tende a +\infty (uma sequência de números naturais), e a expressão depende de \sin(1/n). Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão algébrica, para ficar mais claro o comportamento quando n cresce:
Agora pense no argumento do seno: \dfrac{1}{n}. Quando n\to+\infty, tem-se \dfrac{1}{n}\to 0. Ou seja, estamos estudando o comportamento de \sin(x) quando x é um número pequeno e positivo (aqui x=1/n).
Passo 4
Uma desigualdade muito útil e básica é
|\sin x|\le |x|\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando por que isso é plausível: para x próximo de zero, a reta y=x tangencia a curva y=\sin x em zero e a seno fica entre as retas y=x e y=-x; essa é uma desigualdade padrão que podemos usar sem calcular aproximações finas.
Passo 5
Aplicando essa desigualdade com x=\dfrac{1}{n} obtemos
\big|\sin(1/n)\big|\le \frac{1}{n}.
Passo 6
Multiplico ambos os lados por \sqrt{n} (que é positivo) para estimar o módulo da nossa sequência:
Esse é um limite elementar: \sqrt{n}\to+\infty quando n\to+\infty, logo o inverso tende a zero.
Passo 8
Pelo teorema do confronto (ou teorema do sanduíche): se uma sequência tem módulo menor ou igual a outra sequência que tende a 0, então a primeira sequência também tende a 0. Aplicando isso à desigualdade do Passo 6, concluímos que
\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}\,\sin(1/n)=0.
Passo 9
Um comentário adicional (opcional, só para intuição): outra maneira equivalente é escrever