Questão 1. Calcule os limites abaixo:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n \sin (1 / n)}{\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{n\to+\infty}\frac{n\sin(1/n)}{\sqrt{n}}.
Informações dadas: n é um índice que tende a +\infty (uma sequência de números naturais), e a expressão depende de \sin(1/n). Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica, para ficar mais claro o comportamento quando n cresce:
\frac{n\sin(1/n)}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}\,\sin(1/n),
pois \dfrac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.

Passo 3

Agora pense no argumento do seno: \dfrac{1}{n}. Quando n\to+\infty, tem-se \dfrac{1}{n}\to 0. Ou seja, estamos estudando o comportamento de \sin(x) quando x é um número pequeno e positivo (aqui x=1/n).

Passo 4

Uma desigualdade muito útil e básica é
|\sin x|\le |x|\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando por que isso é plausível: para x próximo de zero, a reta y=x tangencia a curva y=\sin x em zero e a seno fica entre as retas y=x e y=-x; essa é uma desigualdade padrão que podemos usar sem calcular aproximações finas.

Passo 5

Aplicando essa desigualdade com x=\dfrac{1}{n} obtemos
\big|\sin(1/n)\big|\le \frac{1}{n}.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por \sqrt{n} (que é positivo) para estimar o módulo da nossa sequência:
\big|\sqrt{n}\,\sin(1/n)\big|\le \sqrt{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 7

Observe o limite do lado direito:
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Esse é um limite elementar: \sqrt{n}\to+\infty quando n\to+\infty, logo o inverso tende a zero.

Passo 8

Pelo teorema do confronto (ou teorema do sanduíche): se uma sequência tem módulo menor ou igual a outra sequência que tende a 0, então a primeira sequência também tende a 0. Aplicando isso à desigualdade do Passo 6, concluímos que
\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}\,\sin(1/n)=0.

Passo 9

Um comentário adicional (opcional, só para intuição): outra maneira equivalente é escrever
\sqrt{n}\sin(1/n)=\frac{\sin(1/n)}{1/n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}
e usar que \dfrac{\sin x}{x}\to 1 quando x\to 0, combinado com \dfrac{1}{\sqrt{n}}\to 0. Dá a mesma conclusão.

Resposta

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