Questão 2. Calcule.
\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-9};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}-9}.
Isso é um exemplo clássico de série telescópica, onde vamos usar decomposição em frações parciais para reduzir o somatório a termos que se cancelam.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de \frac{1}{n^{2}-9}. Como n^{2}-9=(n-3)(n+3), procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(n-3)(n+3)}=\frac{A}{n-3}+\frac{B}{n+3}.
Multiplicando ambos os lados por (n-3)(n+3), obtemos
1 = A(n+3)+B(n-3).
Comparando coeficientes em n e termo constante,
A + B = 0,\quad 3A - 3B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac{1}{6},\;B=-\tfrac{1}{6}.
Logo,
\frac{1}{n^{2}-9} =\frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n+3}\Bigr).

Passo 3

Consideramos a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n^{2}-9} =\frac{1}{6}\sum_{n=4}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n+3}\Bigr).
Escrevendo alguns termos, vemos o cancelamento:
\frac{1}{6}\Bigl[(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{7}) +(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}) +(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{9}) +\cdots +(\tfrac{1}{N-3}-\tfrac{1}{N+3})\Bigr].
Os termos intermediários se cancelam, sobrando
S_{N} =\frac{1}{6}\Bigl(\underbrace{\tfrac{1}{1}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}}_{H_{6}} -\bigl(\tfrac{1}{N-2}+\tfrac{1}{N-1}+\cdots+\tfrac{1}{N+3}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Ao fazer N\to\infty, o grupo \tfrac{1}{N-2}+\cdots+\tfrac{1}{N+3} tende a zero. Logo, a soma da série é
\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-9} =\frac{1}{6}\,H_{6}.

Passo 5

Calculamos H_{6}=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}. Em forma de fração com denominar comum 60,
H_{6}=\frac{60+30+20+15+12+10}{60}=\frac{147}{60}=\frac{49}{20}.
Portanto,
\frac{1}{6}\,H_{6} =\frac{1}{6}\times\frac{49}{20} =\frac{49}{120}.

Resposta

\boxed{\frac{49}{120}}.

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