Questão 2. Calcule.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
Isso é um exemplo clássico de série telescópica, onde vamos usar decomposição em frações parciais para reduzir o somatório a termos que se cancelam.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
. Como
, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Comparando coeficientes em
e termo constante,
Logo,
Passo 3
Consideramos a soma parcial até
:
Escrevendo alguns termos, vemos o cancelamento:
Os termos intermediários se cancelam, sobrando
Passo 4
Ao fazer
, o grupo
tende a zero. Logo, a soma da série é
Passo 5
Calculamos
. Em forma de fração com denominar comum
,
Portanto,