Questão 9
Calcule o trabalho realizado pela mesma força, quando a partícula se move ao longo de uma elipse de semi-eixos a e 2 a (sugestão: Faça x=2 a sen theta, y=a cos theta.

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular o trabalho de uma certa força F(x,y) quando a partícula percorre uma elipse de semi-eixos e .
Conteúdo envolvido:
  1. Integral de linha (trabalho de uma força).
  2. Campo vetorial conservativo e função potencial.
  3. Parametrização de curvas planas (a elipse com , ).
    O que vamos precisar:
    – Mostrar que F é conservativa (ou seja, existe potencial tal que ).
    – Usar o fato de que, num campo conservativo, o trabalho ao longo de qualquer curva fechada é zero, pois retorna ao mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, escrevemos F como
F(x,y) = l(M(x,y),,N(x,y)r)
Supondo que esta é a “mesma força” do exercício anterior (por exemplo,
M(x,y)=2,x,y e N(x,y)=x^2
), verificamos:
partial Mpartial y =2x, partial Npartial x =2x
Como , F é de fato conservativa.

Passo 3

Por ser conservativa, existe uma função potencial partial phipartial x=M(x,y), partial phipartial y=N(x,y) tal que
phi(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + g(y)
Integral em partial phipartial y = x^2 + g'(y) overset!= x^2 ;Longrightarrow; g'(y)=0 ;Longrightarrow; g(y)=constante :
Para achar , derivamos em relação a e igualamos a :
Podemos tomar (constante irrelevante).

Passo 4

Agora, o trabalho W=ointC Fcdot d r =ointC nablaphicdot d r =phil(ponto finalr) -phil(ponto inicialr) ao longo da elipse é
phi(final) ;=;phi(inicial) Longrightarrow W=0
Como a elipse é fechada, voltamos ao mesmo ponto, logo
(Se você quiser, pode também parametrizar , calcular e ver que dá integral zero, mas não é necessário.)

Resposta

O trabalho realizado pela força ao percorrer a elipse é
boxed0

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