Questão 9
Calcule o trabalho realizado pela mesma força, quando a partícula se move ao longo de uma elipse de semi-eixos
e
(sugestão: Faça
.
Calcule o trabalho realizado pela mesma força, quando a partícula se move ao longo de uma elipse de semi-eixos
Passo 1
Beleza, a questão pede para calcular o trabalho de uma certa força F(x,y) quando a partícula percorre uma elipse de semi-eixos
e
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Integral de linha (trabalho de uma força).
- Campo vetorial conservativo e função potencial.
- Parametrização de curvas planas (a elipse com
, ).
O que vamos precisar:
– Mostrar que F é conservativa (ou seja, existe potencialtal que ).
– Usar o fato de que, num campo conservativo, o trabalho ao longo de qualquer curva fechada é zero, poisretorna ao mesmo valor.
Passo 2
Primeiro, escrevemos F como
Supondo que esta é a “mesma força” do exercício anterior (por exemplo,
), verificamos:
Como
, F é de fato conservativa.
Passo 3
Por ser conservativa, existe uma função potencial
tal que
Integral em
:
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Podemos tomar
(constante irrelevante).
Passo 4
Agora, o trabalho
ao longo da elipse é
Como a elipse é fechada, voltamos ao mesmo ponto, logo
(Se você quiser, pode também parametrizar
, calcular
e ver que dá integral zero, mas não é necessário.)
Resposta
O trabalho realizado pela força ao percorrer a elipse é