Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
8) \frac{6 s}{s^{2}+25}+\frac{3}{s^{2}+25}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{6s}{s^{2}+25} \;+\;\frac{3}{s^{2}+25}
Esse é um problema de Laplace inversa. Vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas padrão \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}} e \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Separemos a expressão em duas partes, aplicando a linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{6s}{s^{2}+25}\Bigr\} \;+\; \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s^{2}+25}\Bigr\}.

Passo 3

Para a primeira parte, note que a=5 e
\frac{s}{s^{2}+5^{2}} \quad\longleftrightarrow\quad \cos(5t).
Como temos um fator 6 no numerador,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{6s}{s^{2}+25}\Bigr\} =6\cos(5t).

Passo 4

Para a segunda parte, sabemos que
\frac{1}{s^{2}+5^{2}} \quad\longleftrightarrow\quad \frac{1}{5}\sin(5t).
Multiplicando por 3,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s^{2}+25}\Bigr\} =3\cdot\frac{1}{5}\,\sin(5t) =\frac{3}{5}\sin(5t).

Resposta

A transformada inversa é
6\cos(5t) \;+\;\frac{3}{5}\sin(5t).

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