Questão 7 - Calcule a transformada inversa:
9) \frac{8}{3 s^{2}+12}+\frac{3}{s^{2}-49}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{8}{3\,s^{2}+12} \;+\;\frac{3}{s^{2}-49}.
O conteúdo envolvido é a transformada inversa para funções do tipo \tfrac{1}{s^{2}+a^{2}} (que gera senos) e do tipo \tfrac{1}{s^{2}-a^{2}} (que gera senos hiperbólicos). Vamos usar as fórmulas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\Bigr\}=\frac{\sin(at)}{a}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}-a^{2}}\Bigr\}=\frac{\operatorname{sinh}(at)}{a}.

Passo 2

Trabalhando o primeiro termo
\frac{8}{3\,s^{2}+12} =\frac{8}{3\,(s^{2}+4)} =\frac{8}{3}\,\frac{1}{s^{2}+2^{2}}.
Pela tabela,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\Bigr\} =\frac{\sin(2t)}{2}.
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\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{8}{3\,s^{2}+12}\Bigr\} =\frac{8}{3}\,\frac{\sin(2t)}{2} =\frac{4}{3}\,\sin(2t).

Passo 3

Agora o segundo termo
\frac{3}{s^{2}-49} =3\;\frac{1}{s^{2}-7^{2}}.
Usando
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}-7^{2}}\Bigr\} =\frac{\operatorname{sinh}(7t)}{7},
temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s^{2}-49}\Bigr\} =3\,\frac{\operatorname{sinh}(7t)}{7} =\frac{3}{7}\,\operatorname{sinh}(7t).

Passo 4

Somando as duas partes, a transformada inversa de F(s) é
f(t) =\frac{4}{3}\,\sin(2t) \;+\;\frac{3}{7}\,\operatorname{sinh}(7t).

Resposta

f(t)=\frac{4}{3}\,\sin(2t)+\frac{3}{7}\,\operatorname{sinh}(7t).

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