Questão 3: Calcule o volume molar do \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) a 298,15 \mathrm{~K} e 50 bar utilizando a equação do gás ideal
Z=1+\frac{1}{R T}\left(b-\frac{a}{R T}\right) p

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume molar do \mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) nas condições T=298,15\\ \mathrm{K} e p=50\\ \mathrm{bar} usando a equação dada para o fator de compressibilidade:
Z = 1 + \frac{1}{R T}\!\left(b - \frac{a}{R T}\right)p.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
T = 298,15\\ \mathrm{K},\qquad p = 50\\ \mathrm{bar},
e a expressão para Z. Para completar o cálculo precisamos dos parâmetros a e b (constantes tipo van der Waals) e da constante dos gases R. Vou usar os valores tabulados tipicamente usados para \mathrm{O}_2:
a = 1,360\\ \mathrm{L^2\;bar\;mol^{-2}},\qquad b = 0,03186\\ \mathrm{L\;mol^{-1}},
e a constante dos gases
R = 0,083145\\ \mathrm{L\;bar\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
Observação: os valores de a e b são constantes empíricas conhecidas para o oxigénio; estou os usando porque o enunciado fornece a fórmula mas não numericamente a e b.

Passo 2

Entender o que é Z e como relacioná-lo ao volume molar. O fator de compressibilidade Z corrige o comportamento do gás real em relação ao gás ideal. Para um mol de gás, a relação entre Z, a temperatura T, a pressão p e o volume molar \bar{V} é:
\bar{V} = Z\,\frac{R T}{p}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{V} é o volume molar (volume ocupado por 1 mol de gás) em \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Z é o fator de compressibilidade adimensional.
  • R é a constante dos gases na unidade compatível com pressão em \mathrm{bar} e volume em \mathrm{L}.
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • p é a pressão em \mathrm{bar}.
Portanto, o plano é: (i) calcular Z pela expressão dada; (ii) usar \bar{V}=Z RT/p para obter o volume molar.

Passo 3

Calcular R T (porque aparece várias vezes e é conveniente calcular primeiro). Usando R = 0,083145\\ \mathrm{L\;bar\;K^{-1}\;mol^{-1}} e T = 298,15\\ \mathrm{K}:
R T = 0,083145 \times 298,15 = 24,78964\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}.
Comentário didático: aqui multiplicamos a constante dos gases pela temperatura; as unidades \mathrm{K} cancelam a \mathrm{K^{-1}} de R, sobrando \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}, que é a unidade de RT.

Passo 4

Calcular a parte \dfrac{a}{R T} que aparece na fórmula de Z. Usando a = 1,360\\ \mathrm{L^2\;bar\;mol^{-2}} e o R T calculado:
\frac{a}{R T} = \frac{1,360}{24,78964} = 0,05486\quad(\text{adimensional}).
Explicação: a tem unidade \mathrm{L^2\;bar\;mol^{-2}} e RT tem \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}; a divisão deixa unidade \mathrm{L\;mol^{-1}} cancelando com b (ver próximo passo) e, quando entra na combinação com 1/(RT), resulta em quantidade adimensional dentro do termo de Z.

Passo 5

Calcular a diferença b - \dfrac{a}{R T}. Usando b = 0,03186\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}:
b - \frac{a}{R T} = 0,03186 - 0,05486 = -0,02300\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Comentário: o resultado negativo significa que, no conjunto dessa aproximação, o termo que corrige Z será negativo para pressões positivas — isto costuma indicar que o gás tem Z<1 nessas condições (comportamento mais “compacto” que o ideal).

Passo 6

Calcular o fator multiplicador \dfrac{1}{R T} que aparece na expressão de Z:
\frac{1}{R T} = \frac{1}{24,78964} = 0,040332\\ \mathrm{(L\;bar\;mol^{-1})^{-1}}.
Unidade explicada: \dfrac{1}{RT} tem unidade \mathrm{(L\;bar\;mol^{-1})^{-1}}, que ao multiplicar por b (em \mathrm{L\;mol^{-1}}) e por p (em \mathrm{bar}) resulta em quantidade adimensional, adequada para somar a 1 em Z.

Passo 7

Agora juntamos tudo para calcular Z pela expressão dada:
Z = 1 + \frac{1}{R T}\!\left(b - \frac{a}{R T}\right)p.
Substituindo os valores numéricos:
Z = 1 + 0,040332\times(-0,02300)\times 50.
Primeiro a multiplicação interna:
0,040332\times(-0,02300) = -0,00092764.
Multiplicando por p=50:
-0,00092764\times 50 = -0,046382.
Portanto
Z = 1 - 0,046382 = 0,953618 \approx 0,95362.
Interpretação: Z<1 indica que o \mathrm{O}_2 ocupa um pouco menos de volume do que o previsto pelo gás ideal nas condições dadas.

Passo 8

Calcular o volume molar usando \bar{V} = Z\,\dfrac{R T}{p}. Já temos Z e R T; a pressão é p=50\\ \mathrm{bar}:
\frac{R T}{p} = \frac{24,78964}{50} = 0,4957928\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Multiplicando por Z:
\bar{V} = 0,953618 \times 0,4957928 = 0,47280\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos \bar{V}\approx 0,473\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Resposta

0,473\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}

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