Questão 3: Calcule o volume molar do \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) a 298,15 \mathrm{~K} e 50 bar utilizando a equação de van der Waals. Dados: a=0,138 \mathrm{~Pa} \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~mol}^{-1} e b=31,8 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}.
Z=1+\frac{1}{R T}\left(b-\frac{a}{R T}\right) p

Passo 1

O enunciado pede o volume molar do \mathrm{O}_2(\mathrm{g}) nas condições T=298,15\\ \mathrm{K} e p=50\\ \mathrm{bar} usando a equação de van der Waals na forma aproximada do fator de compresibilidade:
Z=1+\frac{1}{R T}\left(b-\frac{a}{R T}\right) p.
Dados fornecidos:
a=0,138\\ \mathrm{Pa\;m^{6}\;mol^{-1}},\qquad b=31{,}8\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}},
T=298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p=50\\ \mathrm{bar}.
A pergunta é: qual é o volume molar \;V_m\; do \mathrm{O}_2 nessas condições?

Passo 2

Relacionamento entre Z e o volume molar. O fator de compresibilidade Z é definido por
Z=\frac{pV_m}{RT},
onde:
  • p é a pressão (em Pa),
  • V_m é o volume molar (em \mathrm{m^3\;mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ideais (em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, que é numericamente igual a \mathrm{Pa\;m^3\;mol^{-1}\;K^{-1}}),
  • T é a temperatura (em K).
Dessa relação isolamos V_m:
V_m=\frac{ZRT}{p}.
Então o plano é: calcular Z pela fórmula dada e depois calcular V_m por \;V_m=ZRT/p.

Passo 3

Converter as unidades e escolher R. Convertendo a pressão para SI:
p=50\\ \mathrm{bar}=50\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=5{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Usamos a constante dos gases
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\quad(\text{aproximaremos numericamente para as contas}).

Passo 4

Calcular RT. Multiplicamos R por T:
RT=8{,}314462618\times 298{,}15.
Fazendo a conta:
RT\approx 2478{,}95703\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}=2478{,}95703\\ \mathrm{Pa\;m^{3}\;mol^{-1}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{a}{RT}. Isso tem unidades de volume ( \mathrm{m^3\;mol^{-1}}):
\frac{a}{RT}=\frac{0{,}138}{2478{,}95703}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
Fazendo a divisão:
\frac{a}{RT}\approx 5{,}5689\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular a diferença b-\dfrac{a}{RT}:
b-\frac{a}{RT}=31{,}8\times 10^{-6}-5{,}5689\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
Convertendo b para notação padrão b=3{,}18\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}} e subtraindo:
b-\frac{a}{RT}\approx 3{,}18\times 10^{-5}-5{,}5689\times 10^{-5}=-2{,}3889\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular o coeficiente multiplicador em Z:
\frac{1}{RT}\left(b-\frac{a}{RT}\right).
Primeiro \dfrac{1}{RT}\approx \dfrac{1}{2478{,}95703}\approx 4{,}0337\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\;J^{-1}}.
Multiplicando:
\frac{1}{RT}\left(b-\frac{a}{RT}\right)\approx 4{,}0337\times 10^{-4}\times(-2{,}3889\times 10^{-5}) \approx -9{,}6366\times 10^{-9}\\ \mathrm{Pa^{-1}}.
(As unidades ficam \mathrm{Pa^{-1}} para que, ao multiplicar por p em Pa, o resultado seja adimensional.)

Passo 8

Calcular Z usando a pressão:
Z=1+\frac{1}{RT}\left(b-\frac{a}{RT}\right)p.
Substituindo o valor de p=5{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
Z\approx 1+(-9{,}6366\times 10^{-9})\times(5{,}0\times 10^{6}) =1-4{,}8183\times 10^{-2}.
Portanto
Z\approx 0{,}951817.

Passo 9

Calcular o volume molar por V_m=\dfrac{ZRT}{p}. Já temos Z, RT e p:
V_m=\frac{0{,}951817\times 2478{,}95703}{5{,}0\times 10^{6}}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
Fazendo a multiplicação e divisão:
V_m\approx \frac{2359{,}559}{5{,}0\times 10^{6}}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}} \approx 4{,}7191\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
Convertendo para litros por mol ( 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}):
V_m\approx 0{,}47191\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}\approx 0{,}472\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Resposta

V_m\approx 4{,}72\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}} = 0{,}472\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}

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