Derive cada uma das funções abaixo:
f(t)=t^3 cdot cos t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função $ f(t) = t^{3} \cdot \cos t $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da regra do produto. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas outras, ou seja, $ f(t) = u(t) \cdot v(t) $, então a derivada de $ f(t) $ é:
f(t) = u(t) cdot v(t)
Isso quer dizer que a gente precisa derivar cada parte separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função:
u(t) = t^3
v(t) = cos t
Vamos derivar cada uma dessas partes.

Passo 4

Derivando $ u(t) = t^{3} $:
u(t) = t^3
A gente usa a regra do poder, que diz que a derivada de $ t^{n} $ é $ n \cdot t^{n-1} $.

Passo 5

Derivando $ v(t) = \cos t $:
v(t) = cos t
A derivada de $ \cos t $ é $ -\sin t $.

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(t) = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) = 3t^2 cdot cos t + t^3 cdot (-sin t)

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(t) = 3t^2 cos t - t^3 sin t

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