Questão 4. Calcule:
7^{4 x-3}=49

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial
7^{4x-3}=49
e pede para calcular o valor de x. Informações relevantes: o lado esquerdo tem base \,7 elevada à potência (4x-3); o lado direito é o número \,49.

Passo 2

Observação simples sobre 49: reconhecemos que
49=7^2.
Isto é só uma reescrita numérica: 7\cdot7=49, portanto 49 é a potência de base 7 com expoente 2.

Passo 3

Propriedade chave (explicação didática): se temos duas potências com a mesma base positiva diferente de 1,
a^{u}=a^{v}\quad\text{com}\quad a>0,\;a\neq1,
então os expoentes são iguais: u=v. Intuição: a função a^{t} é injetora (cada expoente dá um único valor) quando a>0 e a\neq1; logo só há uma forma do resultado ser igual, os expoentes têm que coincidir.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa equação, como escrevemos 49 como 7^2, temos duas potências com a mesma base 7. Portanto podemos igualar os expoentes:
4x-3=2.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear 4x-3=2 passo a passo. Primeiro somamos 3 aos dois lados:
4x-3+3=2+3 \quad\Rightarrow\quad 4x=5.
Em seguida dividimos ambos os lados por 4:
x=\frac{5}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar): substituímos x=\dfrac{5}{4} na potência do lado esquerdo:
4x-3 = 4\cdot\frac{5}{4}-3 = 5-3 = 2,
logo
7^{4x-3}=7^{2}=49,
que coincide com o lado direito. Está correto.

Passo 7

Método alternativo com logaritmo (opcional, só para aprender outra ferramenta): aplicar logaritmo qualquer (por exemplo log natural) em ambos os lados dá
\ln\big(7^{4x-3}\big)=\ln(49).
Pela propriedade \ln(a^{b})=b\ln(a) obtemos
(4x-3)\ln 7 = \ln 49.
Como \ln 49=\ln(7^2)=2\ln 7, dividindo por \ln 7 (que é diferente de zero) volta a resultar em 4x-3=2 e, daí, x=\dfrac{5}{4}.

Resposta

x=\dfrac{5}{4}

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