Questão 1. Dadas as funções
e
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede as duas composições. Informações fornecidas:
-
. -
.
Perguntas que o enunciado faz: - Determinar
. - Determinar
.
Também anotei implicitamente que devo prestar atenção ao domínio de cada composição (valores deproibidos pela existência de divisões por zero).
Passo 2
Definição de composição de funções (mini-aula rápida e prática).
- Se temos duas funções
e , então significa “primeiro aplicar em , depois aplicar ao resultado”. Em fórmula:
- Analogamente,
Ou seja, composição é simplesmente substituição: onde você vê a variável em
, coloca a expressão
, e vice-versa. Fácil, mas é preciso tomar cuidado com domínio: o valor
tem de ser um valor onde
está definido.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Primeiro escrevo a substituição:
, então
- Agora uso a fórmula de
, que é . Substituindo obtemos
- Quero simplificar para uma fração só. Coloco no mesmo denominador
:
- Somando os numeradores:
Logo a expressão simplificada é
Passo 4
Domínio de
(por que e como excluir valores).
- A função
exige , ou seja . - A função
é linear e está definida para todo , então não impõe restrição adicional sobre . - Portanto a única restrição da composição é
.
Conclusão: domínio deé todos os reais com .
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Primeiro escrevo a substituição:
, então
- Usando
com :
- Simplifico o denominador:
- Posso também fatorar
se quiser deixar mais claro o zero:
Então a forma simplificada é
Passo 6
Domínio de
.
-
exige . Aqui . - Logo precisamos de
, isto é . - Resolvendo
dá . Portanto . - A função
é definida para todo , então a única restrição é .
Conclusão: domínio deé todos os reais com .