Questão 1. Dadas as funções f(x)=4 x-3 e g(x)=\frac{1}{x-5}, determine (f \circ g)(x) e (g \circ f)(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede as duas composições. Informações fornecidas:
  • f(x)=4x-3.
  • g(x)=\dfrac{1}{x-5}.
    Perguntas que o enunciado faz:
  • Determinar (f\circ g)(x).
  • Determinar (g\circ f)(x).
    Também anotei implicitamente que devo prestar atenção ao domínio de cada composição (valores de x proibidos pela existência de divisões por zero).

Passo 2

Definição de composição de funções (mini-aula rápida e prática).
  • Se temos duas funções f e g, então (f\circ g)(x) significa “primeiro aplicar g em x, depois aplicar f ao resultado”. Em fórmula:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Analogamente,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).
Ou seja, composição é simplesmente substituição: onde você vê a variável em f, coloca a expressão g(x), e vice-versa. Fácil, mas é preciso tomar cuidado com domínio: o valor g(x) tem de ser um valor onde f está definido.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo.
  • Primeiro escrevo a substituição: g(x)=\dfrac{1}{x-5}, então
(f\circ g)(x)=f\!\left(\dfrac{1}{x-5}\right).
  • Agora uso a fórmula de f, que é f(t)=4t-3. Substituindo t=\dfrac{1}{x-5} obtemos
(f\circ g)(x)=4\cdot\frac{1}{x-5}-3.
  • Quero simplificar para uma fração só. Coloco no mesmo denominador (x-5):
4\cdot\frac{1}{x-5}-3=\frac{4}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}.
  • Somando os numeradores:
\frac{4-3(x-5)}{x-5}=\frac{4-3x+15}{x-5}=\frac{19-3x}{x-5}.
Logo a expressão simplificada é
(f\circ g)(x)=\frac{19-3x}{x-5}.

Passo 4

Domínio de (f\circ g)(x) (por que e como excluir valores).
  • A função g(x)=\dfrac{1}{x-5} exige x-5\neq0, ou seja x\neq5.
  • A função f é linear e está definida para todo t\in\mathbb{R}, então não impõe restrição adicional sobre g(x).
  • Portanto a única restrição da composição é x\neq5.
    Conclusão: domínio de (f\circ g) é todos os reais com x\neq5.

Passo 5

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo.
  • Primeiro escrevo a substituição: f(x)=4x-3, então
(g\circ f)(x)=g\big(4x-3\big).
  • Usando g(t)=\dfrac{1}{t-5} com t=4x-3:
(g\circ f)(x)=\frac{1}{(4x-3)-5}.
  • Simplifico o denominador:
(4x-3)-5=4x-8.
  • Posso também fatorar 4x-8 se quiser deixar mais claro o zero:
4x-8=4(x-2).
Então a forma simplificada é
(g\circ f)(x)=\frac{1}{4x-8}=\frac{1}{4(x-2)}.

Passo 6

Domínio de (g\circ f)(x).
  • g(t)=\dfrac{1}{t-5} exige t-5\neq0. Aqui t=f(x)=4x-3.
  • Logo precisamos de 4x-3-5\neq0, isto é 4x-8\neq0.
  • Resolvendo 4x-8=0 x=2. Portanto x\neq2.
  • A função f é definida para todo x, então a única restrição é x\neq2.
    Conclusão: domínio de (g\circ f) é todos os reais com x\neq2.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{19-3x}{x-5},\quad x\neq5\n (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{4x-8}=\dfrac{1}{4(x-2)},\quad x\neq2

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