Questão 4. Calcule:
\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=125

Passo 1

Enunciado: temos a equação
\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=125.
O que nos foi dado:
  • A expressão à esquerda é \left(\frac{1}{5}\right)^{x}.
  • O lado direito é o número 125.
    O que é pedido:
  • Encontrar o valor de x que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Conceitos úteis (explicados de forma simples):
  • Se temos uma potência \left(a^{b}\right)^{c}, então vale a regra
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}.
Isto significa que elevar uma potência a outra multiplica os expoentes.
  • A inversa de uma base pode ser escrita com expoente negativo:
\frac{1}{a}=a^{-1},
logo
\left(\frac{1}{a}\right)^{x}=\left(a^{-1}\right)^{x}=a^{-x}.
  • Se duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, por exemplo a^{m}=a^{n} com a>0 e a\neq1, então os expoentes são iguais:
a^{m}=a^{n}\quad\Rightarrow\quad m=n.
Isso ocorre porque a função a^{t} é injetora nessas condições (ou seja, não toma o mesmo valor para dois expoentes diferentes).

Passo 3

Aplicando a regra da inversa do expoente à esquerda, escrevemos \frac{1}{5} como 5^{-1}. Assim,
\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=\left(5^{-1}\right)^{x}.

Passo 4

Usando a regra de multiplicação de expoentes em \left(5^{-1}\right)^{x}, obtemos
\left(5^{-1}\right)^{x}=5^{-1\cdot x}=5^{-x}.
Logo a equação original vira
5^{-x}=125.

Passo 5

Reconhecemos que 125 é uma potência de base 5:
5^{3}=125.
(Explicação curta: 5\cdot5\cdot5=25\cdot5=125.)

Passo 6

Substituindo 125 por 5^{3} na equação, temos
5^{-x}=5^{3}.
Como as bases são iguais, aplicamos a regra que iguala os expoentes (pois 5>0 e 5\neq1):
- x = 3.

Passo 7

Resolvendo a equação -x=3 para x:
x=-3.
(Verificação rápida: \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^{3}=125, logo está consistente.)

Resposta

x=-3

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