QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função g(x) com relação à x. Justifique sua resposta.
g(x)=(x-1)^{2}+\frac{1}{x e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g em relação a x. A função dada é
g(x)=(x-1)^{2}+\frac{1}{x e^{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a soma de duas parcelas: (x-1)^{2} e \dfrac{1}{x e^{x}}.
  • Há uma restrição implícita no domínio: x\neq 0 (porque aparece 1/x).
    A tarefa é calcular g'(x) e justificar cada passo do cálculo.

Passo 2

Derivada da primeira parcela (x-1)^{2}. Vou usar a regra do poder combinada com a regra da cadeia. A regra do poder diz que, para uma função \,u(x)^n\,, sua derivada é n\,u(x)^{n-1}\,u'(x). Aqui u(x)=x-1 e n=2. Como u'(x)=1, temos
\frac{d}{dx}\bigl[(x-1)^{2}\bigr]=2(x-1)\cdot 1=2(x-1).
Explicando com calma: derivamos o expoente trazendo o 2 na frente e diminuímos o expoente para 1; como a parte interna x-1 tem derivada 1, não aparece fator extra.

Passo 3

Tratar a segunda parcela \dfrac{1}{x e^{x}}. É conveniente reescrevê-la em potências para aplicar regras de derivação de forma direta:
\frac{1}{x e^{x}} = x^{-1} e^{-x}.
Esta forma mostra um produto de duas funções: x^{-1} e e^{-x}.

Passo 4

Escolha do método para derivar x^{-1} e^{-x}: usar a regra do produto. A regra do produto diz que, para u(x)v(x),
\frac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
Aqui tomo
u(x)=x^{-1},\qquad v(x)=e^{-x}.

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x).
  • Para u(x)=x^{-1} aplico a regra do poder: u'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Para v(x)=e^{-x} uso a regra da cadeia: derivada de e^{h(x)} é e^{h(x)}h'(x). Aqui h(x)=-x e h'(x)=-1, logo
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[x^{-1} e^{-x}\bigr]=u'v+u v' = (-x^{-2})e^{-x} + x^{-1}(-e^{-x}).
Fatorando -e^{-x} obtemos
(-x^{-2})e^{-x} + x^{-1}(-e^{-x}) = -e^{-x}\bigl(x^{-2}+x^{-1}\bigr).
Somando as potências de x dentro do parêntese:
x^{-2}+x^{-1} = \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{1+x}{x^{2}}.
Portanto a derivada da segunda parcela fica
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x e^{x}}\right) = -e^{-x}\cdot\frac{1+x}{x^{2}}.
Reescrevendo em termos de e^{x} (às vezes fica mais legível):
-e^{-x}\cdot\frac{1+x}{x^{2}} = -\frac{1+x}{x^{2} e^{x}}.

Passo 7

Somar as derivadas das duas parcelas (regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas). Portanto
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x-1)^{2}\bigr]+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x e^{x}}\right) =2(x-1)-\frac{1+x}{x^{2} e^{x}}.
Observação final: essa expressão só faz sentido para x\neq 0, compatível com o domínio original da função.

Resposta

g'(x)=2(x-1)-\frac{1+x}{x^{2}e^{x}}

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