QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Determine a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação a
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - Há uma restrição implícita no domínio:
(porque aparece ).
A tarefa é calculare justificar cada passo do cálculo.
Passo 2
Derivada da primeira parcela
. Vou usar a regra do poder combinada com a regra da cadeia. A regra do poder diz que, para uma função
sua derivada é
. Aqui
e
. Como
, temos
Explicando com calma: derivamos o expoente trazendo o
na frente e diminuímos o expoente para
; como a parte interna
tem derivada
, não aparece fator extra.
Passo 3
Tratar a segunda parcela
. É conveniente reescrevê-la em potências para aplicar regras de derivação de forma direta:
Esta forma mostra um produto de duas funções:
e
.
Passo 4
Escolha do método para derivar
: usar a regra do produto. A regra do produto diz que, para
,
Aqui tomo
Passo 5
Calcular
e
.
- Para
aplico a regra do poder: . - Para
uso a regra da cadeia: derivada de é . Aqui e , logo
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Fatorando
obtemos
Somando as potências de
dentro do parêntese:
Portanto a derivada da segunda parcela fica
Reescrevendo em termos de
(às vezes fica mais legível):
Passo 7
Somar as derivadas das duas parcelas (regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas). Portanto
Observação final: essa expressão só faz sentido para
, compatível com o domínio original da função.