QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
Informações importantes dadas no enunciado:
Observação útil: em
temos
, logo não há problema com divisão por zero nem com
quando aparecer em antiderivadas.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando para facilitar a integração. Expandimos o quadrado no numerador e dividimos por
:
portanto
Essa álgebra é só distribuir a divisão por
entre cada termo.
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim
Explicando a propriedade: se
e
são integráveis,
. Também
para constante
.
Passo 4
Agora encontramos antiderivadas (primitivas) de cada termo. Relembre as regras usadas:
- Regra da potência:
. Mais geralmente, para . - Integral de constante:
, então para constante . - Integral de
: . Como aqui, podemos usar .
Aplicando:
Logo uma primitiva comum para o integrando é
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
. Calculamos
e
passo a passo.
Calcule
:
Calcule
:
Agora subtraímos:
Usamos a propriedade dos logaritmos
. Assim
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: podemos reescrever o resultado como
Como verificação numérica rápida,
dá
e então
, um valor positivo consistente com o integrando predominante positivo em
.