QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int_{2}^{4} \frac{(3 x-5)^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
I=\int_{2}^{4}\frac{(3x-5)^{2}}{x}\,dx.
Informações importantes dadas no enunciado:
\text{limites de integração: }x=2\text{ a }x=4,çã
\text{integrando: }\frac{(3x-5)^{2}}{x}.
Observação útil: em [2,4] temos x>0, logo não há problema com divisão por zero nem com \ln|x| quando aparecer em antiderivadas.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando para facilitar a integração. Expandimos o quadrado no numerador e dividimos por x:
(3x-5)^{2}=9x^{2}-30x+25,
portanto
\frac{(3x-5)^{2}}{x}=\frac{9x^{2}-30x+25}{x}=9x-30+\frac{25}{x}.
Essa álgebra é só distribuir a divisão por x entre cada termo.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim
I=\int_{2}^{4}\left(9x-30+\frac{25}{x}\right)dx =\int_{2}^{4}9x\,dx-\int_{2}^{4}30\,dx+\int_{2}^{4}\frac{25}{x}\,dx.
Explicando a propriedade: se f e g são integráveis, \int (f+g)=\int f+\int g. Também \int c\cdot f = c\int f para constante c.

Passo 4

Agora encontramos antiderivadas (primitivas) de cada termo. Relembre as regras usadas:
  • Regra da potência: \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. Mais geralmente, \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Integral de constante: \displaystyle \int 1\,dx = x, então \int a\,dx = a x para constante a.
  • Integral de 1/x: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|. Como x>0 aqui, podemos usar \ln x.
Aplicando:
\int 9x\,dx = 9\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{9}{2}x^{2},
\int 30\,dx = 30x,
\int \frac{25}{x}\,dx = 25\ln|x| = 25\ln x \quad(\text{pois }x>0).
Logo uma primitiva comum para o integrando é
F(x)=\frac{9}{2}x^{2}-30x+25\ln x.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle I=F(4)-F(2). Calculamos F(4) e F(2) passo a passo.
Calcule F(4):
\frac{9}{2}\cdot 4^{2}-30\cdot 4+25\ln 4 =\frac{9}{2}\cdot 16 -120 +25\ln 4 =72-120+25\ln 4 =-48+25\ln 4.
Calcule F(2):
\frac{9}{2}\cdot 2^{2}-30\cdot 2+25\ln 2 =\frac{9}{2}\cdot 4 -60 +25\ln 2 =18-60+25\ln 2 =-42+25\ln 2.
Agora subtraímos:
I=F(4)-F(2)=(-48+25\ln 4)-(-42+25\ln 2)=-6+25(\ln 4-\ln 2).
Usamos a propriedade dos logaritmos \ln 4-\ln 2=\ln\left(\tfrac{4}{2}\right)=\ln 2. Assim
I=-6+25\ln 2.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: podemos reescrever o resultado como
I=25\ln 2 -6.
Como verificação numérica rápida, \ln 2\approx 0,6931 25\ln 2\approx 17,3275 e então I\approx 17,3275-6=11,3275, um valor positivo consistente com o integrando predominante positivo em [2,4].

Resposta

25\ln 2 - 6

Exercícios relacionados