QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
O que é pedido: calcular o valor numérico exato de
e justificar.
Passo 2
Vamos buscar uma antiderivada (primitiva) da função
. Para isso é útil lembrar duas regras básicas de derivação que usaremos como ferramenta:
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia para exponencial: a derivada de
é . Em particular,
A estratégia: procurar uma primitiva da forma
onde
e
são constantes a determinar. Motivo: ao derivar
multiplica-se por
, e ao aplicar a regra do produto obteremos novamente um fator
multiplicando um polinômio de grau 1 — compatível com o integrando
.
Passo 3
Calculemos
usando a regra do produto:
Usando
e
, obtemos
Queremos
. Igualando coeficientes do polinômio que multiplica
:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Portanto uma primitiva é
Podemos verificar rapidamente que
(confere pelos cálculos acima).
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Calculemos
e
.
Primeiro,
Segundo,
Passo 5
Subtraindo:
Podemos também escrever de formas equivalentes, por exemplo
ou
.