QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta.
I=\int_{-2}^{4}\left[e^{(x / 2)}(3 x-5)\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{-2}^{4}\left[e^{(x / 2)}(3 x-5)\right] d x.
Informações dadas:
\text{integrando: } e^{(x/2)}(3x-5),\qquad \text{intervalo de integração: } x\in[-2,4].çã
O que é pedido: calcular o valor numérico exato de I e justificar.

Passo 2

Vamos buscar uma antiderivada (primitiva) da função e^{(x/2)}(3x-5). Para isso é útil lembrar duas regras básicas de derivação que usaremos como ferramenta:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia para exponencial: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Em particular,
\frac{d}{dx}e^{x/2}=\frac{1}{2}e^{x/2}.
A estratégia: procurar uma primitiva da forma
F(x)=e^{x/2}\,(a x+b),
onde a e b são constantes a determinar. Motivo: ao derivar e^{x/2} multiplica-se por 1/2, e ao aplicar a regra do produto obteremos novamente um fator e^{x/2} multiplicando um polinômio de grau 1 — compatível com o integrando e^{x/2}(3x-5).

Passo 3

Calculemos F'(x) usando a regra do produto:
F(x)=e^{x/2}(ax+b)\quad\Rightarrow\quad F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x/2}\bigr)(ax+b)+e^{x/2}\frac{d}{dx}(ax+b).
Usando \frac{d}{dx}e^{x/2}=\frac{1}{2}e^{x/2} e \frac{d}{dx}(ax+b)=a, obtemos
F'(x)=\frac{1}{2}e^{x/2}(ax+b)+e^{x/2}a = e^{x/2}\left(\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}+a\right).
Queremos F'(x)=e^{x/2}(3x-5). Igualando coeficientes do polinômio que multiplica e^{x/2}:
\frac{a}{2}=3\quad\text{e}\quad \frac{b}{2}+a=-5.
Da primeira equação vem a=6. Substituindo na segunda:
\frac{b}{2}+6=-5\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{2}=-11\quad\Rightarrow\quad b=-22.
Portanto uma primitiva é
F(x)=e^{x/2}(6x-22).
Podemos verificar rapidamente que F'(x)=e^{x/2}(3x-5) (confere pelos cálculos acima).

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é I=F(4)-F(-2). Calculemos F(4) e F(-2).
Primeiro,
F(4)=e^{4/2}\bigl(6\cdot 4-22\bigr)=e^{2}\bigl(24-22\bigr)=2e^{2}.
Segundo,
F(-2)=e^{-2/2}\bigl(6\cdot(-2)-22\bigr)=e^{-1}\bigl(-12-22\bigr)=e^{-1}(-34)=-34e^{-1}.

Passo 5

Subtraindo:
I=F(4)-F(-2)=2e^{2}-\bigl(-34e^{-1}\bigr)=2e^{2}+34e^{-1}.
Podemos também escrever de formas equivalentes, por exemplo I=2e^{2}+\dfrac{34}{e} ou I=2\bigl(e^{2}+17e^{-1}\bigr).

Resposta

2e^{2}+34e^{-1}

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