Questão 5 Tensão Geostática Básica
Um pilar rochoso em uma mina subterrânea possui seção transversal plana de área
. Devido à sobrecarga litostática, esse pilar suporta uma força vertical pura de
200 MN (Mega Newtons). A tensão horizontal confinante (
) é de 10 MPa .
a) Calcule o tensor principal máximo (
) atuante no pilar utilizando o princípio físico
.
b) Construa o Círculo de Mohr para esse estado de tensões e determine a tensão de cisalhamento máxima
.
a) Calcule o tensor principal máximo (
b) Construa o Círculo de Mohr para esse estado de tensões e determine a tensão de cisalhamento máxima
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o tensor principal máximo
atuante no pilar usando . - (b) Construir o Círculo de Mohr para esse estado de tensões e determinar a tensão de cisalhamento máxima
.
Dados fornecidos:
- Área da seção transversal:
. - Força vertical (sobre o pilar):
. - Tensão horizontal confinante (menor principal):
.
Passo 2
Calcular
usando a definição de tensão média normal:
Primeiro converto
para unidades SI compatíveis com
:
Agora aplico a fórmula:
Faço a divisão passo a passo:
Lembrando que
, então
Passo 3
Explicar o Círculo de Mohr (passo a passo e de forma didática):
- O Círculo de Mohr é uma representação gráfica que coloca a tensão normal
no eixo horizontal e a tensão de cisalhamento no eixo vertical. - Para um estado com dois esforços principais (aqui
e ), os pontos correspondentes na abscissa são e . - O centro do círculo de Mohr é o valor médio das tensões principais:
- O raio do círculo é a metade da diferença entre as tensões principais:
- A máxima tensão de cisalhamento absoluta
corresponde exatamente ao raio do círculo, porque é a distância vertical do centro até o ponto superior do círculo:
(Geometricamente: o segmento que liga
a
tem comprimento
; o círculo tem esse segmento como diâmetro, logo o raio é metade dele.)
Passo 4
Aplicar as fórmulas com os valores numéricos:
- Centro do círculo:
- Raio / máxima tensão de cisalhamento:
Pontos principais do círculo de Mohr (úteis para desenhar):
- ponto correspondente a
: , - ponto correspondente a
: , - topo do círculo (máximo cisalhamento):
.
Passo 5
Interpretação e observações finais (curtas e úteis):
- A tensão principal máxima calculada pela relação
é . - A máxima tensão de cisalhamento no pilar, obtida pelo círculo de Mohr, é
. - Nota prática: a superfície onde ocorre
está inclinada em em relação aos eixos principais de tensão (ou seja, planos a 45° entre as direções de e ) — informação útil se for necessário analisar rotura por cisalhamento.