Questão 5 Tensão Geostática Básica (\sigma=F / A)

Um pilar rochoso em uma mina subterrânea possui seção transversal plana de área A= 4 \mathrm{~m}^{2}. Devido à sobrecarga litostática, esse pilar suporta uma força vertical pura de F= 200 MN (Mega Newtons). A tensão horizontal confinante ( \sigma_{3} ) é de 10 MPa .
a) Calcule o tensor principal máximo ( \sigma_{1} ) atuante no pilar utilizando o princípio físico \sigma=F / A.
b) Construa o Círculo de Mohr para esse estado de tensões e determine a tensão de cisalhamento máxima \left(\tau_{\text {max }}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o tensor principal máximo \sigma_{1} atuante no pilar usando \sigma=F/A.
  • (b) Construir o Círculo de Mohr para esse estado de tensões e determinar a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{max}}.
Dados fornecidos:
  • Área da seção transversal: A = 4\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Força vertical (sobre o pilar): F = 200\\ \mathrm{MN}.
  • Tensão horizontal confinante (menor principal): \sigma_{3} = 10\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Calcular \sigma_{1} usando a definição de tensão média normal:
\sigma = \frac{F}{A}.
Primeiro converto F para unidades SI compatíveis com \mathrm{Pa}:
F = 200\\ \mathrm{MN} = 200\times 10^{6}\\ \mathrm{N}.
Agora aplico a fórmula:
\sigma_{1} = \frac{200\times10^{6}\\ \mathrm{N}}{4\\ \mathrm{m}^{2}}.
Faço a divisão passo a passo:
\frac{200}{4}=50, \qquad 50\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}} = 50\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}, então
\sigma_{1}=50\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Explicar o Círculo de Mohr (passo a passo e de forma didática):
  • O Círculo de Mohr é uma representação gráfica que coloca a tensão normal \sigma no eixo horizontal e a tensão de cisalhamento \tau no eixo vertical.
  • Para um estado com dois esforços principais (aqui \sigma_{1} e \sigma_{3}), os pontos correspondentes na abscissa são (\sigma_{1},0) e (\sigma_{3},0).
  • O centro do círculo de Mohr é o valor médio das tensões principais:
\text{centro} = \frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}.
  • O raio do círculo é a metade da diferença entre as tensões principais:
R = \frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.
  • A máxima tensão de cisalhamento absoluta \tau_{\text{max}} corresponde exatamente ao raio R do círculo, porque é a distância vertical do centro até o ponto superior do círculo:
\tau_{\text{max}} = R = \frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}.
(Geometricamente: o segmento que liga (\sigma_{1},0) a (\sigma_{3},0) tem comprimento \sigma_{1}-\sigma_{3}; o círculo tem esse segmento como diâmetro, logo o raio é metade dele.)

Passo 4

Aplicar as fórmulas com os valores numéricos:
  • Centro do círculo:
\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}=\frac{50\\ \mathrm{MPa}+10\\ \mathrm{MPa}}{2}=\frac{60\\ \mathrm{MPa}}{2}=30\\ \mathrm{MPa}.
  • Raio / máxima tensão de cisalhamento:
\tau_{\text{max}}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{50\\ \mathrm{MPa}-10\\ \mathrm{MPa}}{2}=\frac{40\\ \mathrm{MPa}}{2}=20\\ \mathrm{MPa}.
Pontos principais do círculo de Mohr (úteis para desenhar):
  • ponto correspondente a \sigma_{1}: (50\\ \mathrm{MPa},\,0),
  • ponto correspondente a \sigma_{3}: (10\\ \mathrm{MPa},\,0),
  • topo do círculo (máximo cisalhamento): (30\\ \mathrm{MPa},\,20\\ \mathrm{MPa}).

Passo 5

Interpretação e observações finais (curtas e úteis):
  • A tensão principal máxima calculada pela relação F/A é \sigma_{1}=50\\ \mathrm{MPa}.
  • A máxima tensão de cisalhamento no pilar, obtida pelo círculo de Mohr, é \tau_{\text{max}}=20\\ \mathrm{MPa}.
  • Nota prática: a superfície onde ocorre \tau_{\text{max}} está inclinada em 45^\circ em relação aos eixos principais de tensão (ou seja, planos a 45° entre as direções de \sigma_{1} e \sigma_{3}) — informação útil se for necessário analisar rotura por cisalhamento.

Resposta

\sigma_{1}=50\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\text{max}}=20\\ \mathrm{MPa}

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