Questão 4 Cálculo de Tensões em Planos Inclinados
A tensão máxima e mínima aplicada em um corpo de rocha homogênea mede 1,5 kbar e 0,8 kbar, respectivamente. Quais as tensões normais e cisalhantes nos planos descritos a seguir, paralelos ao eixo intermediário de tensão e cuja tensão normal e
são inclinadas em:
iii)
iii)
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isto (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Tensão máxima (principal maior):
. - Tensão mínima (principal menor):
. - Os planos considerados são paralelos ao eixo intermediário de tensão (logo o problema é bidimensional no plano determinado por
e ). - A pergunta: calcular a tensão normal e a tensão cisalhante (shear) nos planos cuja normal forma um ângulo de
com a direção de . Ou seja, é o ângulo entre a normal do plano e a direção de .
Passo 2
Entender a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras).
Quando estamos no sistema de eixos principais, tem-se uma situação de estado plano de tensões com ,
e
. Para obter as tensões normal e cisalhante num plano cujo vetor normal forma um ângulo
com a direção de
, usamos as fórmulas de transformação de tensões (essas fórmulas vêm da estática de corpos infinitesimais ou do círculo de Mohr). As fórmulas são:
Quando estamos no sistema de eixos principais, tem-se uma situação de estado plano de tensões com
Explicando as letras:
-
é a tensão normal no plano (positivo se tração, negativo se compressão, conforme convenção adotada). -
é a componente cisalhante absoluta (a fórmula dá o valor com sinal dependendo da orientação; aqui nos interessa normalmente o módulo). -
e são os principais dados do enunciado. -
é o ângulo entre o vetor normal do plano e a direção de .
Observação prática: a fórmula acima é simples de aplicar e pode ser usada na prova sem desenhar o círculo de Mohr — o círculo de Mohr é uma maneira geométrica de obter exatamente os mesmos resultados e serve como verificação.
Passo 3
Calcular os termos auxiliares (média e semidiferença), substituindo
e
(unidades em kbar):
Passo 4
Calcular as funções trigonométricas necessárias para
. Precisamos de
e
, ou seja
e
.
Valores conhecidos:
Valores conhecidos:
Passo 5
Calcular a tensão normal
substituindo na fórmula:
Fazendo a conta:
portanto
Passo 6
Calcular a tensão cisalhante
substituindo na fórmula:
Aproximando numericamente:
Arredondando de forma prática para a prova:
.
Passo 7
Interpretação rápida e verificação intuitiva:
- A normal encontrada
está entre e , como esperado para uma orientação intermediária. - A componente cisalhante tem módulo
. O sinal da fórmula usada daria a orientação (sentido) do cisalhamento; aqui reportamos o valor positivo como módulo da tensão de cisalhamento no plano. Se for preciso no exame, pode-se indicar também a direção do cisalhamento conforme convenção adotada (virada do plano em sentido positivo em relação a ).