Questão 4 Cálculo de Tensões em Planos Inclinados
A tensão máxima e mínima aplicada em um corpo de rocha homogênea mede 1,5 kbar e 0,8 kbar, respectivamente. Quais as tensões normais e cisalhantes nos planos descritos a seguir, paralelos ao eixo intermediário de tensão e cuja tensão normal e \sigma_{1} são inclinadas em:
iii) 60^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isto (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Tensão máxima (principal maior): \sigma_{1}=1{,}5\\ \text{kbar}.
  • Tensão mínima (principal menor): \sigma_{3}=0{,}8\\ \text{kbar}.
  • Os planos considerados são paralelos ao eixo intermediário de tensão (logo o problema é bidimensional no plano determinado por \sigma_{1} e \sigma_{3}).
  • A pergunta: calcular a tensão normal e a tensão cisalhante (shear) nos planos cuja normal forma um ângulo de 60^\circ com a direção de \sigma_{1}. Ou seja, \theta=60^\circ é o ângulo entre a normal do plano e a direção de \sigma_{1}.

Passo 2

Entender a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras).
Quando estamos no sistema de eixos principais, tem-se uma situação de estado plano de tensões com \sigma_x=\sigma_{1}, \sigma_y=\sigma_{3} e \tau_{xy}=0. Para obter as tensões normal e cisalhante num plano cujo vetor normal forma um ângulo \theta com a direção de \sigma_{1}, usamos as fórmulas de transformação de tensões (essas fórmulas vêm da estática de corpos infinitesimais ou do círculo de Mohr). As fórmulas são:
\sigma_{n}=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}+\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}\cos(2\theta),
\tau_{n}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}\sin(2\theta).
Explicando as letras:
  • \sigma_{n} é a tensão normal no plano (positivo se tração, negativo se compressão, conforme convenção adotada).
  • \tau_{n} é a componente cisalhante absoluta (a fórmula dá o valor com sinal dependendo da orientação; aqui nos interessa normalmente o módulo).
  • \sigma_{1} e \sigma_{3} são os principais dados do enunciado.
  • \theta é o ângulo entre o vetor normal do plano e a direção de \sigma_{1}.
    Observação prática: a fórmula acima é simples de aplicar e pode ser usada na prova sem desenhar o círculo de Mohr — o círculo de Mohr é uma maneira geométrica de obter exatamente os mesmos resultados e serve como verificação.

Passo 3

Calcular os termos auxiliares (média e semidiferença), substituindo \sigma_{1}=1{,}5 e \sigma_{3}=0{,}8 (unidades em kbar):
\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}=\frac{1{,}5+0{,}8}{2}=\frac{2{,}3}{2}=1{,}15\\ \text{kbar}.
\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{1{,}5-0{,}8}{2}=\frac{0{,}7}{2}=0{,}35\\ \text{kbar}.

Passo 4

Calcular as funções trigonométricas necessárias para \theta=60^\circ. Precisamos de \cos(2\theta) e \sin(2\theta), ou seja \cos(120^\circ) e \sin(120^\circ).
Valores conhecidos:
\cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, \qquad \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254.

Passo 5

Calcular a tensão normal \sigma_{n} substituindo na fórmula:
\sigma_{n}=1{,}15 + 0{,}35\cos(120^\circ) =1{,}15 + 0{,}35\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Fazendo a conta:
0{,}35\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-0{,}175,
portanto
\sigma_{n}=1{,}15-0{,}175=0{,}975\\ \text{kbar}.

Passo 6

Calcular a tensão cisalhante \tau_{n} substituindo na fórmula:
\tau_{n}=0{,}35\sin(120^\circ)=0{,}35\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Aproximando numericamente:
\tau_{n}=0{,}35\cdot0{,}8660254\approx0{,}303109\\ \text{kbar}.
Arredondando de forma prática para a prova: \tau_{n}\approx0{,}303\\ \text{kbar}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação intuitiva:
  • A normal encontrada \sigma_{n}=0{,}975\\ \text{kbar} está entre \sigma_{1}=1{,}5 e \sigma_{3}=0{,}8, como esperado para uma orientação intermediária.
  • A componente cisalhante tem módulo \approx0{,}303\\ \text{kbar}. O sinal da fórmula usada daria a orientação (sentido) do cisalhamento; aqui reportamos o valor positivo como módulo da tensão de cisalhamento no plano. Se for preciso no exame, pode-se indicar também a direção do cisalhamento conforme convenção adotada (virada do plano em sentido positivo em relação a \sigma_{1}).

Resposta

\sigma_{n}=0{,}975\\ \text{kbar}
\tau_{n}=0{,}303\\ \text{kbar}

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