Questão 2: Os calores específicos são geralmente dados em função da temperatura. A equação do calor específico para o CO2 é:
\mathrm{C}_{\mathrm{P}}=8,4448+0,5757.10^{-2} \cdot \mathrm{~T} onde: [\mathrm{T}]={ }^{\circ} \mathrm{F} e \left[\mathrm{C}_{\mathrm{P}}\right]=\frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{Ibmol} .{ }^{\circ} \mathrm{F}}
a) Converta a equação de modo que T pode ser em { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{C}_{p} \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{gmol} . \mathrm{K}
b) Calcule o \mathrm{C}_{\mathrm{p}} na temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão do calor específico molar do \mathrm{CO}_2 em função da temperatura em graus Fahrenheit e pede duas coisas:
  • (a) Converter a equação de modo que a temperatura esteja em {}^\circ\mathrm{C} e o calor específico em \mathrm{J}/\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}.
  • (b) Calcular o valor de \mathrm{C}_P na temperatura 60{}^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas:
\mathrm{C}_P = 8,4448 + 0,5757\cdot10^{-2}\cdot T
onde [T] = {}^\circ\mathrm{F} e \left[\mathrm{C}_P\right] = \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.
O que precisamos transformar:
  • Unidades de energia: \mathrm{BTU} para \mathrm{J}.
  • Unidade de quantidade de substância: \mathrm{lbmol} (pound-mole) para \mathrm{gmol} (a notação pedida, que corresponde a mol).
  • Unidade de temperatura: expressar a dependência em {}^\circ\mathrm{C} e usar \mathrm{K} no denominador do calor específico (lembre: variações de temperatura \Delta{}^\circ\mathrm{C}=\Delta\mathrm{K}).
  • Relação entre {}^\circ\mathrm{F} e {}^\circ\mathrm{C}: \;T({}^\circ\mathrm{F}) = \dfrac{9}{5}T({}^\circ\mathrm{C}) + 32.

Passo 2

Anotar fatores de conversão necessários (valores numéricos usados):
1\\ \mathrm{BTU} = 1055,05585\\ \mathrm{J}
1\\ \mathrm{lbmol} = 453,59237\\ \mathrm{mol}
para diferenças de temperatura:
1\\ {}^\circ\mathrm{F} = \dfrac{5}{9}\\ \mathrm{K}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{{}^\circ\mathrm{F}}=\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{1}{\mathrm{K}}.
Assim, para converter uma quantidade em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{F}} para \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}} multiplicamos por
k \;=\; \dfrac{1055,05585}{453,59237}\cdot\dfrac{9}{5}.

Passo 3

Calcular numericamente o fator k.
Primeiro:
\dfrac{1055,05585}{453,59237}\approx 2,326
e então
k = 2,326\cdot\dfrac{9}{5}=2,326\cdot1,8=4,1868.
Interpretação: multiplicar valores em \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{F}} por 4,1868 dá valores em \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}.

Passo 4

Reescrever a equação original explicitando o coeficiente numérico menor:
\mathrm{C}_P = 8,4448 + 0,5757\cdot10^{-2}\cdot T
observando que
0,5757\cdot10^{-2} = 0,005757.
Logo
\mathrm{C}_P = 8,4448 + 0,005757\;T_{({}^\circ\mathrm{F})},
com unidade \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.

Passo 5

Vamos converter a dependência de T para {}^\circ\mathrm{C}. Usamos
T_{({}^\circ\mathrm{F})} = \dfrac{9}{5}T_{({}^\circ\mathrm{C})} + 32.
Substituindo:
\mathrm{C}_P = 8,4448 + 0,005757\!\left(\dfrac{9}{5}T_{({}^\circ\mathrm{C})}+32\right).
Agrupando termos dentro dos parênteses:
0,005757\cdot\dfrac{9}{5} = 0,005757\cdot1,8 = 0,0103626,
0,005757\cdot32 = 0,184224.
Então
\mathrm{C}_P = \bigl(8,4448 + 0,184224\bigr) + 0,0103626\;T_{({}^\circ\mathrm{C})}
\mathrm{C}_P = 8,629024 + 0,0103626\;T_{({}^\circ\mathrm{C})},
ainda com unidades \dfrac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lbmol}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.

Passo 6

Agora convertemos as unidades multiplicando por k=4,1868. Multiplicamos ambos os coeficientes:
constante:
4,1868\cdot 8,629024 \approx 36,12801764,
coeficiente da temperatura:
4,1868\cdot 0,0103626 \approx 0,04338613368.
Portanto, em unidades SI pedidas:
\mathrm{C}_P = 36,1280 + 0,0433861\;T_{({}^\circ\mathrm{C})},
onde \left[\mathrm{C}_P\right] = \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}} e T em {}^\circ\mathrm{C}.
(Arredondei os coeficientes para seis casas decimais significativas quando apropriado.)

Passo 7

Calcular \mathrm{C}_P para T=60{}^\circ\mathrm{C}. Usando a equação convertida:
\mathrm{C}_P(60) = 36,12801764 + 0,04338613368\cdot 60.
Calcular o termo com T:
0,04338613368\cdot 60 = 2,603167, \text{ aproximadamente }2,60316802.
Somando:
\mathrm{C}_P(60) \approx 36,12801764 + 2,60316802 = 38,73118566\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.
Arredondando com significado prático (3 casas decimais):
\mathrm{C}_P(60) \approx 38,731\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.

Resposta

\mathrm{C}_P = 36,1280 + 0,0433861\;T\quad\left[\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}\right] com T em {}^\circ\mathrm{C}.
\mathrm{C}_P(60{}^\circ\mathrm{C}) \approx 38,731\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{gmol}\cdot\mathrm{K}}.

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