Questão 5

Um capacitor de placas paralelas é carregado ligando-o a uma bateria e mantendo-o ligado nela. A distância entre as placas é dobrada. a) Como o campo elétrico varia? b) Como a carga sobre as placas varia? c) E a energia potencial? Considere agora este novo cenário. Um capacitor de placas paralelas é carregado conectando-o a uma bateria e, a seguir, as conexões são removidas. A distância entre as placas é dobrada. d) Como o campo elétrico varia? Como a diferença de energia potencial varia? Explique suas respostas.

Passo 1

O enunciado traz duas situações com um capacitor de placas paralelas e pede como variam campo elétrico, carga e energia potencial quando a distância entre as placas é dobrada. Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações iniciais estão implícitas:
  • Dados gerais (implícitos):
    • Tem-se um capacitor de placas paralelas com área de cada placa A e separação inicial d.
    • Permissividade do vácuo: \varepsilon_0.
    • Podemos chamar as quantidades iniciais (antes de dobrar d) de C (capacitância inicial), Q (carga inicial nas placas), V (diferença de potencial inicial entre placas), E (campo elétrico inicial entre placas) e U (energia elétrica armazenada inicialmente).
  • Perguntas:
    a) Na primeira situação, o capacitor foi carregado conectando-o a uma bateria e mantendo-o conectado; então a distância entre as placas é dobrada. Como o campo elétrico varia?
    b) Nessa mesma situação (bateria conectada), como a carga sobre as placas varia?
    c) Nessa situação (bateria conectada), como a energia potencial (energia armazenada no capacitor) varia?
    d) Agora, segunda situação: o capacitor foi carregado conectando-o à bateria e, em seguida, a bateria foi desconectada (isto é, a carga fica isolada, Q fixa). A distância entre as placas é dobrada. Como o campo elétrico varia? Como a diferença de energia potencial varia?
Observações importantes (não resolver ainda): nas duas situações a única alteração é dobrar a separação d; na primeira o potencial V permanece fixo (a bateria força isso), na segunda a carga Q permanece fixa (conexões removidas). A resolução começará a partir destas condições.

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas:
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, A é a área de cada placa e d é a separação entre elas. Interpretação: quanto maior a distância d, menor a capacidade de armazenar carga para a mesma diferença de potencial.
  • Densidade superficial de carga e campo elétrico entre placas:
\sigma=\frac{Q}{A},
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}.
Explicação: no modelo ideal (franjas desprezíveis), o campo uniforme entre as placas depende só da densidade de carga superficial \sigma; se Q e A não mudam, E não muda com d.
  • Relação entre diferença de potencial, campo e separação:
V=E\,d.
Interpretação: a diferença de potencial entre as placas é o campo vezes a distância entre elas, para campo uniforme.
  • Fórmulas para energia armazenada no capacitor (três formas equivalentes):
U=\frac{1}{2}C V^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}Q V.
Estas formas são úteis em situações diferentes: use a que mantém constantes as grandezas que não mudam no processo (por exemplo, se V é mantido fixo, é prático usar U=\tfrac12 C V^2; se Q é fixo, é prático usar U=\tfrac{Q^2}{2C}).

Passo 3

Análise da primeira situação (bateria conectada e mantida ligada enquanto d é dobrada). Condição-chave: a bateria mantém a diferença de potencial V constante durante todo o processo.
Primeiro obtenho como a capacitância muda ao dobrar d. Se a separação fica d' = 2d, então:
C'=\frac{\varepsilon_0 A}{d'}=\frac{\varepsilon_0 A}{2d}=\frac{C}{2}.
Portanto a nova capacitância é a metade da inicial.

Passo 4

Campo elétrico na situação com bateria conectada (item a).
Lembrando que com bateria ligada V permanece igual a V inicial e que V=E d. Inicialmente E=\dfrac{V}{d}. Depois de dobrar d, o novo campo E' satisfaz
E'=\frac{V}{d'}=\frac{V}{2d}=\frac{1}{2}\cdot\frac{V}{d}=\frac{E}{2}.
Conclusão (a): o campo elétrico entre as placas fica pela metade.
Explicação física intuitiva: a bateria mantém a mesma diferença de potencial entre placas, mas como as placas ficam mais distantes o campo necessário para manter a mesma diferença de potencial diminui.

Passo 5

Carga sobre as placas na situação com bateria conectada (item b).
Com bateria conectada V é constante e a carga é Q = C V. Como C ficou pela metade, a nova carga Q' é
Q' = C' V = \frac{C}{2}V = \frac{Q}{2}.
Conclusão (b): a carga nas placas fica pela metade.
Interpretação: ao aumentar d a capacidade de armazenar carga para um dado V diminui, então cargas fluem para a bateria até que Q ajuste ao novo C. A bateria absorve a carga removida (ou entrega carga oposta), dependendo do sinal.

Passo 6

Energia armazenada na situação com bateria conectada (item c).
Nesta situação é natural usar a forma U=\tfrac12 C V^2, porque V é constante. Como C' é C/2, a nova energia U' é
U'=\frac{1}{2}C'V^2=\frac{1}{2}\left(\frac{C}{2}\right)V^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}C V^2=\frac{U}{2}.
Conclusão (c): a energia armazenada diminui para metade.
Explicação física sobre onde foi a energia: a energia diminuiu porque parte da energia que estava no campo foi transferida para a bateria (ou dissipada caso haja resistência no circuito) quando a carga saiu das placas. Se fizeres o processo lentamente com a bateria ideal e circuitos sem resistência, a energia extra é devolvida para a bateria (ou faz corrente que realiza trabalho elétrico na fonte).

Passo 7

Resumo curto para a primeira situação (bateria ligada):
  • E fica metade ( E'=\tfrac12 E).
  • Q fica metade ( Q'=\tfrac12 Q).
  • U fica metade ( U'=\tfrac12 U).
Vou agora para a segunda situação (bateria desconectada após carregar), que é pedida no item d.

Passo 8

Análise da segunda situação (bateria desconectada — carga Q fixa — e então dobrar d).
Condição-chave: após desconectar a bateria, as placas estão isoladas; a carga total em cada placa Q permanece constante durante o processo (supondo isolamento perfeito e desprezando faíscas, fuga, etc.). A área A não muda.
Campo elétrico entre placas:
E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}.
Aqui note que E depende de Q e A, não depende de d. Como Q e A permanecem iguais ao longo do processo, o novo campo E' é igual ao campo inicial:
E'=E.
Portanto, o campo não muda quando se separa as placas mantendo Q fixo.
Explicação física: as linhas de campo entre as placas vêm da carga nas superfícies; afastar as placas não altera a densidade superficial de carga se Q e A forem constantes, então o campo local entre as placas permanece praticamente o mesmo (desprezando efeitos de borda).

Passo 9

Energia na segunda situação (item d — diferença de energia potencial).
Para Q fixo, use a forma U=\dfrac{Q^{2}}{2C}. Como a capacitância ao dobrar d fica C'=\dfrac{C}{2}, então
U'=\frac{Q^{2}}{2C'}=\frac{Q^{2}}{2(C/2)}=\frac{Q^{2}}{2}\cdot\frac{2}{C}=\frac{Q^{2}}{C}=2\cdot\frac{Q^{2}}{2C}=2U.
Conclusão (d) — energia: a energia armazenada dobra (fica duas vezes maior).
Outra forma de ver — usando U=\tfrac12 QV: com Q fixo e E fixo, V=Ed dobra quando d dobra (porque E constante e V=E d), logo V'\!=2V e U'=\tfrac12 Q V'=\tfrac12 Q(2V)=2\left(\tfrac12 QV\right)=2U.
Explicação física do aumento de energia: a energia adicional não aparece “do nada” — ela vem do trabalho mecânico que alguém faz para separar as placas contra a força de atração elétrica entre elas. Ao afastar as placas, é preciso aplicar força contra a atração, e o trabalho realizado por essa força externa é armazenado no campo elétrico, aumentando a energia do capacitor.

Passo 10

Resumo curto para a segunda situação (bateria desconectada, Q fixa):
  • Campo elétrico E não varia: E'=E.
  • Diferença de energia potencial: dobra — U' = 2U.
  • Observação extra: a diferença de potencial V entre placas dobra ( V' = 2V), já que V=E d e E é constante.
Força e origem da energia: para aumentar U foi necessário realizar trabalho mecânico (aplicar uma força que afaste as placas); esse trabalho é convertido em energia elétrica armazenada no capacitor.

Resposta

a) O campo elétrico fica metade do valor inicial: E'=\tfrac{1}{2}E.
b) A carga sobre as placas fica metade: Q'=\tfrac{1}{2}Q.
c) A energia potencial armazenada fica metade: U'=\tfrac{1}{2}U.
d) Com a bateria desconectada (carga Q fixa): o campo elétrico não varia ( E'=E). A energia potencial dobra: U'=2U.

Exercícios relacionados