Questão 5
Um capacitor de placas paralelas é carregado ligando-o a uma bateria e mantendo-o ligado nela. A distância entre as placas é dobrada. a) Como o campo elétrico varia? b) Como a carga sobre as placas varia? c) E a energia potencial? Considere agora este novo cenário. Um capacitor de placas paralelas é carregado conectando-o a uma bateria e, a seguir, as conexões são removidas. A distância entre as placas é dobrada. d) Como o campo elétrico varia? Como a diferença de energia potencial varia? Explique suas respostas.
Passo 1
O enunciado traz duas situações com um capacitor de placas paralelas e pede como variam campo elétrico, carga e energia potencial quando a distância entre as placas é dobrada. Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações iniciais estão implícitas:
-
Dados gerais (implícitos):
- Tem-se um capacitor de placas paralelas com área de cada placa
e separação inicial . - Permissividade do vácuo:
. - Podemos chamar as quantidades iniciais (antes de dobrar
) de (capacitância inicial), (carga inicial nas placas), (diferença de potencial inicial entre placas), (campo elétrico inicial entre placas) e (energia elétrica armazenada inicialmente).
- Tem-se um capacitor de placas paralelas com área de cada placa
-
Perguntas:
a) Na primeira situação, o capacitor foi carregado conectando-o a uma bateria e mantendo-o conectado; então a distância entre as placas é dobrada. Como o campo elétrico varia?
b) Nessa mesma situação (bateria conectada), como a carga sobre as placas varia?
c) Nessa situação (bateria conectada), como a energia potencial (energia armazenada no capacitor) varia?
d) Agora, segunda situação: o capacitor foi carregado conectando-o à bateria e, em seguida, a bateria foi desconectada (isto é, a carga fica isolada,fixa). A distância entre as placas é dobrada. Como o campo elétrico varia? Como a diferença de energia potencial varia?
Observações importantes (não resolver ainda): nas duas situações a única alteração é dobrar a separação
; na primeira o potencial
permanece fixo (a bateria força isso), na segunda a carga
permanece fixa (conexões removidas). A resolução começará a partir destas condições.
Passo 2
Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicados com calma):
- Capacitância de um capacitor de placas paralelas:
onde
é a permissividade do vácuo,
é a área de cada placa e
é a separação entre elas. Interpretação: quanto maior a distância
, menor a capacidade de armazenar carga para a mesma diferença de potencial.
- Densidade superficial de carga e campo elétrico entre placas:
Explicação: no modelo ideal (franjas desprezíveis), o campo uniforme entre as placas depende só da densidade de carga superficial
; se
e
não mudam,
não muda com
.
- Relação entre diferença de potencial, campo e separação:
Interpretação: a diferença de potencial entre as placas é o campo vezes a distância entre elas, para campo uniforme.
- Fórmulas para energia armazenada no capacitor (três formas equivalentes):
Estas formas são úteis em situações diferentes: use a que mantém constantes as grandezas que não mudam no processo (por exemplo, se
é mantido fixo, é prático usar
; se
é fixo, é prático usar
).
Passo 3
Análise da primeira situação (bateria conectada e mantida ligada enquanto
é dobrada). Condição-chave: a bateria mantém a diferença de potencial
constante durante todo o processo.
Primeiro obtenho como a capacitância muda ao dobrar
. Se a separação fica
, então:
Portanto a nova capacitância é a metade da inicial.
Passo 4
Campo elétrico na situação com bateria conectada (item a).
Lembrando que com bateria ligada
permanece igual a
inicial e que
. Inicialmente
. Depois de dobrar
, o novo campo
satisfaz
Conclusão (a): o campo elétrico entre as placas fica pela metade.
Explicação física intuitiva: a bateria mantém a mesma diferença de potencial entre placas, mas como as placas ficam mais distantes o campo necessário para manter a mesma diferença de potencial diminui.
Passo 5
Carga sobre as placas na situação com bateria conectada (item b).
Com bateria conectada
é constante e a carga é
. Como
ficou pela metade, a nova carga
é
Conclusão (b): a carga nas placas fica pela metade.
Interpretação: ao aumentar
a capacidade de armazenar carga para um dado
diminui, então cargas fluem para a bateria até que
ajuste ao novo
. A bateria absorve a carga removida (ou entrega carga oposta), dependendo do sinal.
Passo 6
Energia armazenada na situação com bateria conectada (item c).
Nesta situação é natural usar a forma
, porque
é constante. Como
é
, a nova energia
é
Conclusão (c): a energia armazenada diminui para metade.
Explicação física sobre onde foi a energia: a energia diminuiu porque parte da energia que estava no campo foi transferida para a bateria (ou dissipada caso haja resistência no circuito) quando a carga saiu das placas. Se fizeres o processo lentamente com a bateria ideal e circuitos sem resistência, a energia extra é devolvida para a bateria (ou faz corrente que realiza trabalho elétrico na fonte).
Passo 7
Resumo curto para a primeira situação (bateria ligada):
-
fica metade ( ). -
fica metade ( ). -
fica metade ( ).
Vou agora para a segunda situação (bateria desconectada após carregar), que é pedida no item d.
Passo 8
Análise da segunda situação (bateria desconectada — carga
fixa — e então dobrar
).
Condição-chave: após desconectar a bateria, as placas estão isoladas; a carga total em cada placa
permanece constante durante o processo (supondo isolamento perfeito e desprezando faíscas, fuga, etc.). A área
não muda.
Campo elétrico entre placas:
Aqui note que
depende de
e
, não depende de
. Como
e
permanecem iguais ao longo do processo, o novo campo
é igual ao campo inicial:
Portanto, o campo não muda quando se separa as placas mantendo
fixo.
Explicação física: as linhas de campo entre as placas vêm da carga nas superfícies; afastar as placas não altera a densidade superficial de carga se
e
forem constantes, então o campo local entre as placas permanece praticamente o mesmo (desprezando efeitos de borda).
Passo 9
Energia na segunda situação (item d — diferença de energia potencial).
Para
fixo, use a forma
. Como a capacitância ao dobrar
fica
, então
Conclusão (d) — energia: a energia armazenada dobra (fica duas vezes maior).
Outra forma de ver — usando
: com
fixo e
fixo,
dobra quando
dobra (porque
constante e
), logo
e
.
Explicação física do aumento de energia: a energia adicional não aparece “do nada” — ela vem do trabalho mecânico que alguém faz para separar as placas contra a força de atração elétrica entre elas. Ao afastar as placas, é preciso aplicar força contra a atração, e o trabalho realizado por essa força externa é armazenado no campo elétrico, aumentando a energia do capacitor.
Passo 10
Resumo curto para a segunda situação (bateria desconectada,
fixa):
- Campo elétrico
não varia: . - Diferença de energia potencial: dobra —
. - Observação extra: a diferença de potencial
entre placas dobra ( ), já que e é constante.
Força e origem da energia: para aumentar
foi necessário realizar trabalho mecânico (aplicar uma força que afaste as placas); esse trabalho é convertido em energia elétrica armazenada no capacitor.
Resposta
a) O campo elétrico fica metade do valor inicial:
.
b) A carga sobre as placas fica metade:
.
c) A energia potencial armazenada fica metade:
.
d) Com a bateria desconectada (carga
fixa): o campo elétrico não varia (
). A energia potencial dobra:
.