Questão 3: Uma carga elétrica puntiforme
é colocada na origem. Uma outra carga puntiforme
é colocada em
. Calcule:
o campo elétrico
sobre o eixo
(válido nas regiões
e
); (b) a posição sobre o eixo
que o campo elétrico se anula.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas cargas elétricas: uma carga positiva de
colocada na origem (
) e uma carga negativa de
colocada no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é o campo elétrico gerado por cargas puntiformes. Para resolver isso, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico produzido por uma carga e como somar os campos de várias cargas. Vamos calcular o campo elétrico nas três regiões diferentes ao longo do eixo
: antes da origem (
), entre as cargas (
) e além da segunda carga (
). Depois, na parte (b), vamos encontrar o ponto no eixo
onde o campo elétrico total se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. A fórmula é:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância da carga até o ponto onde queremos calcular o campo, -
é o vetor unitário na direção do campo.
Lembrando que o campo elétrico aponta para longe de cargas positivas e na direção das cargas negativas.
Passo 3
Vamos analisar cada região separadamente começando por
.
Região 1:
Nesse caso, estamos à esquerda da carga
. Vamos calcular o campo total como a soma dos campos criados por cada carga.
- Campo da carga
: A distância até o ponto é , e como a carga é positiva, o campo aponta para a direita (no sentido positivo de ).
- Campo da carga
: A distância até o ponto é , e sendo negativa, o campo aponta para a esquerda (pois o campo de uma carga negativa aponta para a carga).
Como ambos os campos estão na mesma direção (para a esquerda e para a direita), podemos somá-los levando em conta os sinais:
Passo 4
Região 2:
Agora, estamos entre as duas cargas. Vamos calcular os campos de cada carga nesse intervalo.
- Campo da carga
: A distância é . Como é positiva, o campo aponta para a direita.
- Campo da carga
: A distância é . Como é negativa, o campo aponta para a esquerda.
Agora, os campos estão em direções opostas. O campo da carga
aponta para a direita (positivo) e o da carga
para a esquerda (negativo). Assim, o campo total é a diferença entre eles:
Passo 5
Região 3:
Por fim, vamos para além da carga
.
- Campo da carga
: A distância é . Campo para a direita.
- Campo da carga
: A distância é . Campo para a esquerda.
Novamente, os campos estão em direções opostas. O campo da carga
aponta para a direita (positivo) e o da carga
para a esquerda (negativo). Então, o campo total é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar o ponto ao longo do eixo
onde o campo elétrico total se anula, ou seja,
.
Isso significa que os campos das duas cargas devem se equilibrar:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo
:
Distribuindo o 9:
Levantando todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
para facilitar:
Mas essa abordagem não simplifica a equação. Melhor, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, precisamos verificar qual desses valores está de fato no eixo
onde os campos se anulam.
Passo 8
Analisando as soluções:
-
: Esse valor é maior que , ou seja, está na região . -
: Esse valor está entre e , na região .
Vamos verificar se ambas as posições são válidas.
Para
:
Verificamos no campo total para
:
Para
, verificamos na região
:
Ambas as posições anulam o campo total.
Resposta
A posição ao longo do eixo
onde o campo elétrico total se anula está em
e
.