Questão 3: Uma carga elétrica puntiforme 9 Q é colocada na origem. Uma outra carga puntiforme -Q é colocada em x=d. Calcule: (a) o campo elétrico E sobre o eixo x (válido nas regiões x<0,0 e x>d ); (b) a posição sobre o eixo x que o campo elétrico se anula.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas cargas elétricas: uma carga positiva de 9Q colocada na origem ( x=0) e uma carga negativa de -Q colocada no ponto x=d. A matéria que vamos usar aqui é o campo elétrico gerado por cargas puntiformes. Para resolver isso, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico produzido por uma carga e como somar os campos de várias cargas. Vamos calcular o campo elétrico nas três regiões diferentes ao longo do eixo x: antes da origem ( x<0), entre as cargas ( 0) e além da segunda carga ( x>d). Depois, na parte (b), vamos encontrar o ponto no eixo x onde o campo elétrico total se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. A fórmula é:
E = k Qr^2 r
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , Nm^2/C^2),
  • Q é a carga,
  • r é a distância da carga até o ponto onde queremos calcular o campo,
  • r é o vetor unitário na direção do campo.
Lembrando que o campo elétrico aponta para longe de cargas positivas e na direção das cargas negativas.

Passo 3

Vamos analisar cada região separadamente começando por x<0.

Região 1: x < 0

Nesse caso, estamos à esquerda da carga 9Q. Vamos calcular o campo total como a soma dos campos criados por cada carga.
  • Campo da carga 9Q: A distância até o ponto x é |x|, e como a carga é positiva, o campo aponta para a direita (no sentido positivo de x).
E9Q = k 9Qx^2
  • Campo da carga -Q: A distância até o ponto x é d - x, e sendo negativa, o campo aponta para a esquerda (pois o campo de uma carga negativa aponta para a carga).
E-Q = k Q(d - x)^2
Como ambos os campos estão na mesma direção (para a esquerda e para a direita), podemos somá-los levando em conta os sinais:
Etotal = E9Q - E-Q = k ( 9Qx^2 - Q(d - x)^2 )

Passo 4

Região 2: 0 < x < d

Agora, estamos entre as duas cargas. Vamos calcular os campos de cada carga nesse intervalo.
  • Campo da carga 9Q: A distância é x. Como é positiva, o campo aponta para a direita.
E9Q = k 9Qx^2
  • Campo da carga -Q: A distância é d - x. Como é negativa, o campo aponta para a esquerda.
E-Q = k Q(d - x)^2
Agora, os campos estão em direções opostas. O campo da carga 9Q aponta para a direita (positivo) e o da carga -Q para a esquerda (negativo). Assim, o campo total é a diferença entre eles:
Etotal = E9Q - E-Q = k ( 9Qx^2 - Q(d - x)^2 )

Passo 5

Região 3: x > d

Por fim, vamos para além da carga -Q.
  • Campo da carga 9Q: A distância é x. Campo para a direita.
E9Q = k 9Qx^2
  • Campo da carga -Q: A distância é x - d. Campo para a esquerda.
E-Q = k Q(x - d)^2
Novamente, os campos estão em direções opostas. O campo da carga 9Q aponta para a direita (positivo) e o da carga -Q para a esquerda (negativo). Então, o campo total é:
Etotal = E9Q - E-Q = k ( 9Qx^2 - Q(x - d)^2 )

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar o ponto ao longo do eixo x onde o campo elétrico total se anula, ou seja, Etotal = 0.
Isso significa que os campos das duas cargas devem se equilibrar:
9Qx^2 = Q(x - d)^2
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por Q:
9x^2 = 1(x - d)^2
Vamos resolver essa equação para x.

Passo 7

Resolvendo a equação:
9x^2 = 1(x - d)^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 (x - d)^2 para eliminar os denominadores:
9 (x - d)^2 = x^2
Expandindo (x - d)^2:
9 (x^2 - 2xd + d^2) = x^2
Distribuindo o 9:
9x^2 - 18xd + 9d^2 = x^2
Levantando todos os termos para o lado esquerdo:
9x^2 - 18xd + 9d^2 - x^2 = 0
Simplificando:
8x^2 - 18xd + 9d^2 = 0
Dividindo todos os termos por x^2 para facilitar:
8x^2x^2 - 18xdx^2 + 9d^2x^2 = 0
Mas essa abordagem não simplifica a equação. Melhor, vamos resolver a equação quadrática:
8x^2 - 18xd + 9d^2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 18d pm raiz(18d)^2 - 4 cdot 8 cdot 9d^22 cdot 8
Calculando o discriminante:
De
Então:
x = 18d pm raiz36d^216 = 18d pm 6d16
Isso nos dá duas soluções:
  1. x = 18d + 6d16 = 24d16 = 3d2
  2. x = 18d - 6d16 = 12d16 = 3d4
Agora, precisamos verificar qual desses valores está de fato no eixo x onde os campos se anulam.

Passo 8

Analisando as soluções:
  1. x = 3d2: Esse valor é maior que d, ou seja, está na região x > d.
  2. x = 3d4: Esse valor está entre 0 e d, na região 0 < x < d.
Vamos verificar se ambas as posições são válidas.
Para x = 3d2:
Verificamos no campo total para x > d:
Etotal = k ( 9Q(3d2)^2 - Q(3d2 - d)^2 ) = k ( 9Q9d^24 - Qd^24 ) = k ( 4Qd^2 - 4Qd^2 ) = 0
Para x = 3d4, verificamos na região 0 < x < d:
Etotal = k ( 9Q(3d4)^2 - Q(d - 3d4)^2 ) = k ( 9Q9d^216 - Qd^216 ) = k ( 16Qd^2 - 16Qd^2 ) = 0
Ambas as posições anulam o campo total.

Resposta

A posição ao longo do eixo x onde o campo elétrico total se anula está em x = dfrac3d4 e x = dfrac3d2.

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