Questão 1: Duas esferas carregadas positivamente possuem cargas
e
. Quando colocadas à distância de
, as esferas repelem-se com uma força de
. A carga total das duas esferas é igual a
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas carregadas positivamente com cargas $ Q_1 $ e $ Q_2 $. Quando colocadas a uma distância de 2,0 cm, elas se repelem com uma força de $ 1,0 \times 10^{-2} , N $. A carga total das duas esferas é $ 6,0 \times 10^{-8} , C $. Nosso objetivo é descobrir quanto cada esfera está carregada, ou seja, encontrar $ Q_1 $ e $ Q_2 $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que explica como cargas elétricas interagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz a força de repulsão ou atração entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
onde:
- $ F $ é a força entre as cargas,
- $ k $ é a constante de Coulomb ($ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
- $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 3
Sabemos que a força $ F $ é $ 1,0 \times 10^{-2} , N $ e a distância $ r $ é 2,0 cm, que vamos converter para metros: $ 0,02 , m $. A carga total é $ Q_1 + Q_2 = 6,0 \times 10^{-8} , C $. Para facilitar, vamos chamar $ Q_2 $ de $ 6,0 \times 10^{-8} - Q_1 $.
Passo 4
Substituindo $ Q_2 $ na fórmula da Lei de Coulomb, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ Q_1 $.
Passo 5
Primeiro, calculamos o denominador $ r^2 = (0,02)^2 = 0,0004 , m^2 $. Substituindo:
Multiplicando os dois lados por 0,0004 para isolar os termos de $ Q_1 $:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 6
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ 8,988 \times 10^9 $:
Calculando a divisão:
Passo 7
Agora, reorganizamos a equação para formar uma equação quadrática:
Essa é uma equação do tipo $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde:
- $ a = 1 $,
- $ b = -6,0 \times 10^{-8} $,
- $ c = 4,45 \times 10^{-16} $.
Passo 8
Calculando o discriminante $ \Delta $:
Agora, extraímos a raiz quadrada:
Passo 9
Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Temos duas soluções:
ou
Como estamos lidando com cargas positivas, descartamos a solução negativa.
Resposta
As cargas das esferas são:
No entanto, como cargas negativas não fazem sentido no contexto de repulsão entre cargas positivas, revisando os cálculos, a carga correta de cada esfera é: