Questão 2 -
Uma carga Y equilibrada com uma impedância \mathrm{Z}=4+\mathrm{j} 4 \Omega por fase é conectada a um gerador trifásico de quatro fios conectado em Y com uma tensão de linha de 208 V. Calcule o módulo:
a) Da tensão de fase do gerador.

Passo 1

O enunciado fornece e pergunta o seguinte (listei os dados que aparecem):
  • Carga em estrela (Y) equilibrada com impedância por fase \displaystyle Z=4+\mathrm{j}\,4\\ \Omega.
  • Gerador trifásico de quatro fios ligado em Y com tensão de linha (tensão entre fases) \displaystyle V_{L}=208\\ \mathrm{V}.
  • Pergunta (a): calcular o módulo da tensão de fase do gerador (ou seja, a tensão fase-neutro, \displaystyle V_{fase}).

Passo 2

Entender a relação entre tensão de linha e tensão de fase num sistema em Y. Vou explicar devagarinho:
  • Em ligação em Y, cada tensão de fase é a tensão entre um terminal de fase e o neutro. Denotando a tensão de fase por \displaystyle V_{ph} podemos escrever os fasores das três fases como, por exemplo,
V_{AN}=V_{ph}\angle 0^\circ,\qquad V_{BN}=V_{ph}\angle -120^\circ,\qquad V_{CN}=V_{ph}\angle +120^\circ.
  • A tensão de linha entre duas fases é a diferença dos respectivos fasores de fase. Por exemplo,
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}.
Este é um conceito central: tensão entre duas fases = diferença vetorial (fasorial) das tensões fase-neutro.

Passo 3

Calcular explicitamente o módulo de V_{AB} em função de V_{ph}. Usando a escrita exponencial/fasorial:
V_{AB}=V_{ph}\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr).
Agora avalio 1-e^{-j120^\circ}. Primeiro escrevo e^{-j120^\circ} em termos de cosseno e seno:
e^{-j120^\circ}=\cos120^\circ - j\sin120^\circ = -\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
1-e^{-j120^\circ}=1-(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2})=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O módulo desse número complexo é
\left|\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right| =\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
Logo o módulo da tensão de linha é
|V_{AB}|=|V_L|=\sqrt{3}\,V_{ph}.

Passo 4

Isolar V_{ph} e calcular numericamente. Da relação anterior:
V_{ph}=\dfrac{V_{L}}{\sqrt{3}}.
Substituindo V_{L}=208\\ \mathrm{V} e usando \sqrt{3}\approx 1,732:
V_{ph}=\dfrac{208}{\sqrt{3}}=\dfrac{208}{1,732}\approx 120,1\\ \mathrm{V}.
Interpretação curta e motivadora: portanto cada fase do gerador tem cerca de 120\\ \mathrm{V} em relação ao neutro — isso é típico em sistemas onde a tensão de linha é ~208 V (pois 208/\sqrt{3}\approx120).

Resposta

V_{fase}=120,1\\ \mathrm{V}

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