Questão 3

Um mergulhador olímpico de massa m inicia sua descida de um trampolim de 10 m de altura com velocidade inicial zero. (a) Calcule a velocidade V0 no impacto com a água e o tempo aproximado decorrido desde o mergulho até o impacto (use qualquer método de sua escolha). Assuma que a força de empuxo da água equilibra a força gravitacional sobre o mergulhador e que a força viscosa sobre o mergulhador é b v^2. (b) Estabeleça a equação de movimento para a descida vertical do mergulhador através da água. Resolva para a velocidade V como função da profundidade x na água e imponha a condição de contorno V=V0 e x=0. © Se bm=0,4 m^-1, estime a profundidade na qual V=V010. (d) Resolva para a profundidade vertical x(t) do mergulhador na água em termos do tempo sob a água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado é sobre um mergulhador que cai de um trampolim de 10 m e depois penetra na água. A questão envolve quatro partes:
(a) calcular a velocidade de impacto V0 e o tempo de queda até a água;
(b) montar e resolver a equação de movimento dentro da água (com força de empuxo igual ao peso e arraste b,v^2);
© achar a profundidade x onde a velocidade cai a V0/10 se b/m=0,4;m^-1;
(d) achar a profundidade x(t) em função do tempo na água.
O conteúdo é: conservação de energia para a queda no ar, análise de forças (peso, empuxo e arraste) e resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.

Passo 2

(a) Queda no ar de 10 m (sem arraste):
– Conservação de energia: mgh = tfrac12 m V0^2.
– Logo
V0 = raiz2gh = raiz2 cdot 9,8 cdot 10 = raiz196 = 14;m/s
– Tempo de queda usando h = tfrac12 g t^2:
t = raiz2hg = raiz2cdot109,8 approx 1,43;s

Passo 3

(b) Dentro da água: peso mg pra baixo, empuxo =mg pra cima (se anulam) e força viscosa Frm drag=b,v^2 pra cima.
– Equação de Newton:
mdvdt = -,b,v^2
Para achar v em função da profundidade x, usamos dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v,dv/dx. Então
m,v,dvdx = -,b,v^2 ;;Longrightarrow;; dvv = -bm,dx
Integramos de x=0 (onde v=V0) até x:
integralV0^v dv'v' = -bmintegral0^x dx' ;;Longrightarrow;; lnvV0 = -bm,x
Assim
boxedv(x) = V0,e^-,bm,x

Passo 4

© Queremos v = V0/10 e sabem que b/m = 0,4;m^-1. Então
V010 = V0,e^-0,4,x ;Longrightarrow; 110 = e^-0,4,x ;Longrightarrow; -0,4,x = ln110 = -ln 10
x = ln 100,4 approx 2,30260,4 approx 5,76;m

Passo 5

(d) Para achar x(t), primeiro resolvemos m,dv/dt = -b,v^2 por separação direta:
integralV0^v dv'v'^2 = -bmintegral0^t dt' ;Longrightarrow; -1v + 1V0 = -bm,t
1v = bm,t + 1V0 ;Longrightarrow; v(t) = 1bm,t + 1V0
Agora x(t) = integral0^t v(t'),dt' = integral0^t dt'bmt' + 1V0.
Usando integral du/(a,u+c)=1aln(a,u+c), dá
x(t) = mb,ln!l(bmt + 1V0r),-,mb,ln!l(1V0r) = mb,ln!l(1 + b,V0m,tr)

Resposta

(a) V0=14;m/s e tapprox1,43;s.
(b) v(x)=V0,e^-tfracbmx.
© xapprox5,76;m.
(d) x(t)=mblnl(1+b,V0m,tr),.

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