Questão 3
Um mergulhador olímpico de massa
inicia sua descida de um trampolim de
de altura com velocidade inicial zero. (a) Calcule a velocidade
no impacto com a água e o tempo aproximado decorrido desde o mergulho até o impacto (use qualquer método de sua escolha). Assuma que a força de empuxo da água equilibra a força gravitacional sobre o mergulhador e que a força viscosa sobre o mergulhador é
. (b) Estabeleça a equação de movimento para a descida vertical do mergulhador através da água. Resolva para a velocidade
como função da profundidade
na água e imponha a condição de contorno
e
. © Se
, estime a profundidade na qual
. (d) Resolva para a profundidade vertical
do mergulhador na água em termos do tempo sob a água.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado é sobre um mergulhador que cai de um trampolim de 10 m e depois penetra na água. A questão envolve quatro partes:
(a) calcular a velocidade de impacto e o tempo de queda até a água;
(b) montar e resolver a equação de movimento dentro da água (com força de empuxo igual ao peso e arraste );
© achar a profundidade onde a velocidade cai a
se
;
(d) achar a profundidade em função do tempo na água.
O conteúdo é: conservação de energia para a queda no ar, análise de forças (peso, empuxo e arraste) e resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.
(a) calcular a velocidade de impacto
(b) montar e resolver a equação de movimento dentro da água (com força de empuxo igual ao peso e arraste
© achar a profundidade
(d) achar a profundidade
O conteúdo é: conservação de energia para a queda no ar, análise de forças (peso, empuxo e arraste) e resolução de equações diferenciais por separação de variáveis.
Passo 2
(a) Queda no ar de 10 m (sem arraste):
– Conservação de energia: .
– Logo
– Conservação de energia:
– Logo
– Tempo de queda usando
:
Passo 3
(b) Dentro da água: peso
pra baixo, empuxo
pra cima (se anulam) e força viscosa
pra cima.
– Equação de Newton:
– Equação de Newton:
Para achar
em função da profundidade
, usamos
. Então
Integramos de
(onde
) até
:
Assim
Passo 4
© Queremos
e sabem que
. Então
Passo 5
(d) Para achar
, primeiro resolvemos
por separação direta:
Agora
.
Usando , dá
Usando
Resposta
(a)
e
.
(b) .
© .
(d) .
(b)
©
(d)