QUESTÃO 1

(CBMERJ - 2026)
No projeto de uma cozinha industrial, um eletricista precisa escolher o fio condutor que, ao ser conectado a uma tensão de 120 V , seja capaz de suportar a potência máxima de 9600 W consumida quando todos os aparelhos elétricos estão ligados. Para isso, ele analisou fios de um mesmo material com os seguintes calibres e respectivos diâmetros:
Calibre II III IV
Diâmetro (mm) 0,6 0,8 1,0 1,2
Considere que serão necessários 90 m de fio, com seção reta circular e resistividade elétrica de aproximadamente 1,8 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m}.
Considerando \pi=3, o diâmetro mínimo do fio condutor a ser escolhido corresponde ao calibre de número:
A) I
B) II
C) III
D) IV

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tensão da fonte: \,V=120\\ \text{V}.
  • Potência máxima consumida pelos aparelhos (quando todos ligados): \,P=9600\\ \text{W}.
  • Comprimento do fio necessário: \,L=90\\ \text{m}.
  • Resistividade do material do fio: \,\rho=1{,}8\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
  • Diâmetros disponíveis (em mm): calibre I: \,0{,}6\\ \text{mm}; II: \,0{,}8\\ \text{mm}; III: \,1{,}0\\ \text{mm}; IV: \,1{,}2\\ \text{mm}.
  • Valor a ser usado para \pi: \pi=3.
O enunciado pede: escolher o diâmetro mínimo (entre os quatro calibres dados) do fio capaz de “suportar” a potência máxima quando ligado a \,120\\ \text{V}. Em termos práticos isto significa que a resistência total do condutor não pode ser maior do que a resistência equivalente necessária para que a potência entregue à carga seja a indicada. Vamos traduzir isso em desigualdade matemática e testar os calibres.

Passo 2

Primeira ideia física e fórmula útil: se uma carga absorve potência \,P quando ligada a uma tensão \,V, a resistência dessa carga é dada por
R_{\text{carga}}=\frac{V^{2}}{P}.
Explicando: a potência elétrica em uma resistência R sujeita a uma tensão V é \,P=V^{2}/R. Isolando R obtemos a fórmula acima. Aqui essa resistência é a resistência equivalente dos aparelhos quando eles consomem \,9600\\ \text{W} a \,120\\ \text{V}.
Calculemos R_{\text{carga}}:
R_{\text{carga}}=\frac{120^{2}}{9600}=\frac{14400}{9600}=1{,}5\\ \Omega.
Interpretação prática (passo importante): se o fio tivesse resistência maior que \,1{,}5\\ \Omega, então a combinação “fio + carga” teria resistência total maior, a corrente diminuiria e a potência absorvida pelos aparelhos (a carga) seria menor que \,9600\\ \text{W}. Para que os aparelhos possam, efetivamente, consumir \,9600\\ \text{W} com a fonte de \,120\\ \text{V}, a resistência do fio (no total de \,90\\ \text{m}) deve ser, no máximo, igual a \,1{,}5\\ \Omega. Portanto adotamos como condição de projeto:
R_{\text{fio}} \le 1{,}5\\ \Omega.

Passo 3

Agora usamos a lei da resistividade para um fio cilíndrico: a resistência de um fio é
R_{\text{fio}}=\frac{\rho\,L}{A},
onde
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\text{m}),
  • L é o comprimento do fio (em \text{m}),
  • A é a área da seção reta do fio (em \text{m}^{2}).
Para seção circular a área é
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde \,d é o diâmetro do fio (em metros). Vou usar \pi=3 conforme pedido.
Substituindo A na expressão de R_{\text{fio}} obtemos
R_{\text{fio}}=\frac{4\rho L}{\pi d^{2}}.
Nesta fórmula cada símbolo significa:
  • \rho=1{,}8\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m},
  • L=90\\ \text{m},
  • d em metros é o diâmetro que queremos determinar.

Passo 4

Impondo a condição R_{\text{fio}}\le 1{,}5\\ \Omega temos
\frac{4\rho L}{\pi d^{2}}\le 1{,}5.
Isolando d^{2}:
d^{2}\ge \frac{4\rho L}{\pi\cdot 1{,}5}.
Logo
d\ge \sqrt{\frac{4\rho L}{\pi\cdot 1{,}5}}.
Agora vamos calcular numericamente, convertendo tudo para metros e usando \pi=3.

Passo 5

Calculemos o numerador \,4\rho L:
4\rho L = 4\cdot(1{,}8\times10^{-8})\cdot 90.
Primeiro 1{,}8\times10^{-8}\cdot 90 = 1{,}62\times10^{-6}.
Então
4\rho L = 4\cdot 1{,}62\times10^{-6} = 6{,}48\times10^{-6}.
Agora dividimos por \pi\cdot 1{,}5 = 3\cdot 1{,}5 = 4{,}5:
\frac{4\rho L}{\pi\cdot 1{,}5}=\frac{6{,}48\times10^{-6}}{4{,}5}=1{,}44\times10^{-6}.
Portanto
d\ge \sqrt{1{,}44\times10^{-6}}.
Calculando a raiz quadrada:
d\ge 0{,}0012\\ \text{m}=1{,}2\\ \text{mm}.

Passo 6

Conclusão numérica: o diâmetro mínimo necessário é \,1{,}2\\ \text{mm}. Agora compare com os calibres disponíveis: I (0{,}6\\ \text{mm}), II (0{,}8\\ \text{mm}), III (1{,}0\\ \text{mm}) e IV (1{,}2\\ \text{mm}). O menor calibre que atinge pelo menos \,1{,}2\\ \text{mm} é o calibre IV.
(Verificação rápida: usando as áreas com \pi=3 e a fórmula R_{\text{fio}}=\rho L/A obtém-se resistências aproximadas 6,0 \Omega, 3,375 \Omega, 2,16 \Omega e 1,5 \Omega para os calibres I, II, III e IV, respectivamente — só o calibre IV atinge 1{,}5\\ \Omega ou menos.)

Resposta

D

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