\text{P1} Determine a carga de ruptura, dados
\begin{aligned} & A=1,5 \mathrm{~cm}^{2} \\\ & d=1 \mathrm{~mm} \\\ & E_{\text {rup }}=3.10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m} \end{aligned}
\begin{aligned} & q_{\text {Tup }}=C \Delta v \\\ & q_{\text {Tup }}=\frac{\epsilon_{0} A}{d} \Delta v=\frac{\epsilon_{0} A \epsilon_{\text {UP }} d}{d} \\\ & \left\lvert\,\begin{array}{l} q_{\text {TVP }}=\epsilon_{0} A E_{\text {rup }} \\\ q_{\text {TVP }} \approx 4 n C \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a carga de ruptura (a carga máxima que aparece nas placas antes de ocorrer descarga) para as placas dadas.
Dados fornecidos:
  • A=1,5\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • d=1\\ \mathrm{mm}.
  • E_{\text{rup}}=3\cdot10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Observação sobre a imagem: há um esquema de placas (veja a seção "

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em um capacitor de placas paralelas, o campo elétrico uniforme entre as placas (quando as placas estão muito maiores que a separação) está relacionado à densidade de carga superficial \sigma por
\sigma=\epsilon_{0} E,
onde:
  • \sigma é a densidade de carga superficial (carga por área) em \mathrm{C/m^{2}},
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \epsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
  • A carga total q armazenada numa placa de área A é simplesmente densidade vezes área:
q=\sigma A.
  • Substituindo \sigma obtemos a fórmula direta para a carga máxima antes da ruptura (quando o campo atinge E_{\text{rup}}):
q_{\text{rup}}=\epsilon_{0} A E_{\text{rup}}.
  • Alternativa (mesma coisa, só outra forma de ver): a capacitância de placas paralelas em vácuo é
C=\frac{\epsilon_{0} A}{d},
e a diferença de potencial até ruptura é \Delta V = E_{\text{rup}} d. Então
q = C \Delta V = \frac{\epsilon_{0} A}{d}\cdot (E_{\text{rup}} d)=\epsilon_{0} A E_{\text{rup}},
ou seja, o d cancela — ótima checagem de consistência.

Passo 3

Converter unidades para o SI (muito importante para não errar nos cálculos):
  • Área: 1{,}0\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}. Então
A=1{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Distância: d=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. (Usada só se quiser calcular C ou \Delta V; na fórmula final o d cancela, mas é bom converter sempre.)

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo usando \displaystyle q_{\text{rup}}=\epsilon_{0} A E_{\text{rup}}.
  1. Calcular \epsilon_{0}A:
\epsilon_{0}A=(8{,}854\times10^{-12})\times(1{,}5\times10^{-4}) =1{,}3281\times10^{-15}\\ \mathrm{F\cdot m^{-1}\cdot m^{2}}=1{,}3281\times10^{-15}\\ \mathrm{C/(V)}.
  1. Multiplicar por E_{\text{rup}}=3\cdot10^{6}\\ \mathrm{V/m}:
q_{\text{rup}}=1{,}3281\times10^{-15}\times3\times10^{6} =3{,}9843\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  1. Arredondando com dois algarismos significativos:
q_{\text{rup}}\approx4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=4{,}0\\ \mathrm{nC}.

Passo 5

Interpretação, dicas e variações rápidas (didática para a prova):
  • Resultado físico: a carga máxima que uma das placas pode ter antes de ocorrer a ruptura no ar/vácuo entre placas é cerca de 4\\ \mathrm{nC}.
  • Observação sobre dielétricos: se houvesse um material dielétrico com constante relativa \epsilon_{r} entre as placas, a fórmula vira
q_{\text{rup}}=\epsilon_{0}\epsilon_{r} A E_{\text{rup (no dielétrico)}},é
ou seja, se o enunciado desse \epsilon_{r} teria que multiplicar por ele. Aqui assumiu-se meio com \epsilon_{r}=1 (vácuo/ar), que é consistente com os dados fornecidos.
  • Método prático na prova: ou se lembra direto de \sigma=\epsilon_{0}E e faz q=\sigma A, ou faz C=\epsilon_{0}A/d e V=E d e usa q=C V. As duas vias dão a mesma coisa (bom para checar erro).

Resposta

q_{\text{rup}}=4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\approx4\\ \mathrm{nC}

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