A teoria cinética dos gases prevê que a equação para a energia cinética média translacional é função da temperatura (T) do gás. Mostre que a equaçāo para a energia cinética média de translaçăo é dada por:
(K)=\frac{3}{2} k_{B} T
Dicas:
  • Considere uma molécula confinada em uma caixa de lado L:
  • Considere que a molécula se comporta como uma particula puntiforme e que tem volume firito:
  • Considere todas as partículas idênticas e que ocorrem colisões elásticas com as paredes do recipiente.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a energia cinética média translacional de uma molécula de gás em equilíbrio térmico é
\langle K\rangle = \frac{3}{2} k_{B} T.
Informações fornecidas e definições que vamos usar (peguei estas do enunciado):
  • Uma molécula de massa m está confinada numa caixa cúbica de lado L (volume V=L^{3}).
  • As moléculas são puntiformes, idênticas, e sofrem colisões elásticas com as paredes.
  • N moléculas no gás, em equilíbrio térmico à temperatura T.
  • k_{B} é a constante de Boltzmann.
  • Vou denotar por v_x,v_y,v_z as componentes da velocidade de uma molécula e por v^{2}=v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}.
  • O que precisamos provar é a relação entre a média da energia cinética translacional por partícula e a temperatura.

Passo 2

Momento transferido numa colisão com uma parede (princípio físico usado).
  • Quando uma molécula com componente de velocidade v_x (na direção perpendicular a uma face) colide elasticamente com a parede, a componente v_x troca de sinal: v_x\to -v_x.
  • A variação de momento na direção x é
\Delta p_x = m(-v_x) - m(v_x) = -2 m v_x.
  • Em módulo, a quantidade de momento transferida à parede por essa colisão é 2 m v_x.
  • A distância entre colisões sucessivas da mesma molécula com a mesma parede é 2L, portanto o tempo entre essas colisões é
\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}.
  • A força média que essa molécula exerce sobre a parede (taxa de variação do momento) é
F_x = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2 m v_x}{2L/|v_x|} = \frac{m v_x^{2}}{L}.
(Aqui usei v_x^{2} para evitar problemas com o sinal.)

Passo 3

Pressão exercida por uma única molécula numa face.
  • A área da face é A=L^{2}. A pressão que a única molécula exerce sobre essa face é
p_{1}=\frac{F_x}{A}=\frac{m v_x^{2}}{L\cdot L^{2}}=\frac{m v_x^{2}}{V}.
  • Isso é a contribuição de uma molécula para a pressão, através de sua componente v_x.

Passo 4

Somando as contribuições de todas as moléculas e passando para médias.
  • Somando sobre as N moléculas,
P=\frac{m}{V}\sum_{i=1}^{N} v_{x,i}^{2}.
  • Definindo a média sobre as partículas por \langle v_x^{2}\rangle = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_{x,i}^{2}, obtemos
P = \frac{mN}{V}\langle v_x^{2}\rangle,
ou, rearranjando,
PV = mN\langle v_x^{2}\rangle.

Passo 5

Usando isotropia das velocidades (mesma média nas três direções).
  • Em equilíbrio térmico não há direção preferencial, então
\langle v^{2}\rangle = \langle v_x^{2}\rangle + \langle v_y^{2}\rangle + \langle v_z^{2}\rangle = 3\langle v_x^{2}\rangle.
  • Logo
\langle v_x^{2}\rangle = \frac{1}{3}\langle v^{2}\rangle.
  • Substituindo em PV = mN\langle v_x^{2}\rangle
PV = \frac{1}{3} m N \langle v^{2}\rangle.

Passo 6

Relacionando com a energia cinética média e com a lei dos gases ideais.
  • A energia cinética translacional média por molécula é
\langle K\rangle = \frac{1}{2} m \langle v^{2}\rangle.
  • Use m\langle v^{2}\rangle = 2\langle K\rangle na expressão de PV:
PV = \frac{1}{3} N \bigl( m\langle v^{2}\rangle \bigr) = \frac{1}{3} N (2\langle K\rangle) = \frac{2}{3} N \langle K\rangle.
  • Pela equação de estado do gás ideal (para número de partículas N e temperatura T) vale
PV = N k_{B} T.

Passo 7

Isolando \langle K\rangle e concluindo a demonstração.
  • Igualando as duas expressões de PV:
N k_{B} T = \frac{2}{3} N \langle K\rangle.
  • Cancelando N e resolvendo para \langle K\rangle:
k_{B} T = \frac{2}{3}\langle K\rangle \quad\Rightarrow\quad \langle K\rangle = \frac{3}{2} k_{B} T.

Resposta

\langle K\rangle = \frac{3}{2} k_{B} T

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