A teoria cinética dos gases prevê que a equação para a energia cinética média translacional é função da temperatura (T) do gás. Mostre que a equaçāo para a energia cinética média de translaçăo é dada por:
Dicas:
- Considere uma molécula confinada em uma caixa de lado L:
- Considere que a molécula se comporta como uma particula puntiforme e que tem volume firito:
- Considere todas as partículas idênticas e que ocorrem colisões elásticas com as paredes do recipiente.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que a energia cinética média translacional de uma molécula de gás em equilíbrio térmico é
Informações fornecidas e definições que vamos usar (peguei estas do enunciado):
- Uma molécula de massa
está confinada numa caixa cúbica de lado (volume ). - As moléculas são puntiformes, idênticas, e sofrem colisões elásticas com as paredes.
- Há
moléculas no gás, em equilíbrio térmico à temperatura . -
é a constante de Boltzmann. - Vou denotar por
as componentes da velocidade de uma molécula e por . - O que precisamos provar é a relação entre a média da energia cinética translacional por partícula e a temperatura.
Passo 2
Momento transferido numa colisão com uma parede (princípio físico usado).
- Quando uma molécula com componente de velocidade
(na direção perpendicular a uma face) colide elasticamente com a parede, a componente troca de sinal: . - A variação de momento na direção
é
- Em módulo, a quantidade de momento transferida à parede por essa colisão é
. - A distância entre colisões sucessivas da mesma molécula com a mesma parede é
, portanto o tempo entre essas colisões é
- A força média que essa molécula exerce sobre a parede (taxa de variação do momento) é
(Aqui usei
para evitar problemas com o sinal.)
Passo 3
Pressão exercida por uma única molécula numa face.
- A área da face é
. A pressão que a única molécula exerce sobre essa face é
- Isso é a contribuição de uma molécula para a pressão, através de sua componente
.
Passo 4
Somando as contribuições de todas as moléculas e passando para médias.
- Somando sobre as
moléculas,
- Definindo a média sobre as partículas por
, obtemos
ou, rearranjando,
Passo 5
Usando isotropia das velocidades (mesma média nas três direções).
- Em equilíbrio térmico não há direção preferencial, então
- Logo
- Substituindo em
dá
Passo 6
Relacionando com a energia cinética média e com a lei dos gases ideais.
- A energia cinética translacional média por molécula é
- Use
na expressão de :
- Pela equação de estado do gás ideal (para número de partículas
e temperatura ) vale
Passo 7
Isolando
e concluindo a demonstração.
- Igualando as duas expressões de
:
- Cancelando
e resolvendo para :