Questão 3 (CESGRANRIO - ELETROBRAS). Um empréstimo de \mathrm{R} \ 1.000,00 , à taxa deà10 %$ a.a., será pago em 5 prestaçōes anuais. O valor da primeira prestaçāo, a pagar pelo Sistema de Amortizaçāo Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de
a) 200,00 e 800,00
b) 200,00 e 900,00
c) 300,00 e 700,00
d) 300,00 e 800,00
e) 300,00 e 900,00 .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Empréstimo (principal): P=\text{R\$ }1.000,00.
  • Taxa de juros: i=10\% ao ano, isto é, i=0{,}10.
  • Número de prestações anuais: n=5.
  • Sistema de amortização indicado: Sistema de Amortização Constante (SAC).
    O enunciado pergunta:
  • Qual o valor da primeira prestação?
  • Qual o saldo devedor após o pagamento dessa primeira prestação?

Passo 2

O que significa SAC (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
  • No SAC a amortização do principal é constante em todas as prestações. Chama-se amortização por período a quantidade que reduz o saldo devedor em cada pagamento.
  • Fórmula da amortização constante:
A=\frac{P}{n},
onde A é a amortização em cada período, P é o principal e n é o número de prestações.
  • Aplicando os números do problema:
A=\frac{1000}{5}=200.
Logo, a amortização em cada ano é \text{R\$ }200,00.

Passo 3

Como se calcula o juro em cada período (conceito e aplicação):
  • Em SAC os juros de um período são calculados sobre o saldo devedor existente antes do pagamento desse período.
  • Notação: seja S_{k-1} o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da k-ésima prestação. Então o juro do período k é
J_k = i\cdot S_{k-1}.
  • Para a primeira prestação temos S_0=P=\text{R\$ }1.000,00. Assim:
J_1 = 0{,}10 \cdot 1000 = 100.
Portanto o juro do primeiro período é \text{R\$ }100,00.

Passo 4

Como se calcula o valor da prestação (explicação + aplicação):
  • A prestação R_k em SAC é a soma da amortização A com o juro do período J_k:
R_k = A + J_k.
  • Para a primeira prestação:
R_1 = A + J_1 = 200 + 100 = 300.
Portanto a primeira prestação vale \text{R\$ }300,00.

Passo 5

Como se atualiza o saldo devedor após o pagamento (explicação + aplicação):
  • Depois de pagar a k-ésima prestação, o novo saldo devedor é
S_k = S_{k-1} - A,
pois a amortização A reduz o saldo.
  • Para k=1:
S_1 = S_0 - A = 1000 - 200 = 800.
Portanto o saldo devedor imediatamente após a primeira prestação é \text{R\$ }800,00.

Passo 6

Resumo final e escolha da alternativa:
  • Primeira prestação: \text{R\$ }300,00.
  • Saldo devedor após esse pagamento: \text{R\$ }800,00.
    Isto corresponde à alternativa (d).

Resposta

\text{R\$ }300,00
\text{R\$ }800,00

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