Discuta para
, o grau do polinomio:
.
Passo 1
O enunciado pede: para cada
, determinar o grau do polinômio
Informações dadas que vamos usar:
- Os coeficientes, em ordem decrescente de potências de
, são . - O grau de um polinômio é o maior expoente de
cujo coeficiente é diferente de zero. - Se todos os coeficientes forem zero o polinômio é o polinômio zero e o grau é indefinido (mas esse caso deve ser verificado).
Passo 2
Primeiro encontramos quando o coeficiente líder (o do termo
) é zero:
Fatorando:
Logo
exatamente quando
ou
.
Passo 3
Se
e
, então
. Pelo critério do grau (maior expoente com coeficiente não nulo), o grau do polinômio é
nesses casos. Então:
Passo 4
Agora analisa-se o caso
. Substituindo
nos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: , que é diferente de zero.
Como o coeficiente deanula-se mas o de é não nulo, o maior expoente com coeficiente não nulo passa a ser . Assim:
Passo 5
Analisa-se o caso
. Substituindo
nos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: , que é diferente de zero.
Portanto os termos de graue desaparecem, mas o termo de grau permanece. Logo:
Passo 6
Verificação extra (importante na prova): para que o polinômio fosse o polinômio zero, todos os coeficientes teriam de ser zero simultaneamente. Mas o coeficiente de
é sempre
, independentemente de
, e
. Logo o polinômio nunca é o polinômio zero para nenhum
; o grau está sempre bem definido nos casos acima.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para
Para