Discuta para p \in \mathbb{R}, o grau do polinomio:
=\left(9-p^{2}\right) x^{4}+(3-p) x^{3}+3 x^{2}-(p+3) x+3.

Passo 1

O enunciado pede: para cada p\in\mathbb{R}, determinar o grau do polinômio
P(x)=(9-p^{2})x^{4}+(3-p)x^{3}+3x^{2}-(p+3)x+3.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes, em ordem decrescente de potências de x, são \;9-p^{2},\;3-p,\;3,\;-(p+3),\;3.
  • O grau de um polinômio é o maior expoente de x cujo coeficiente é diferente de zero.
  • Se todos os coeficientes forem zero o polinômio é o polinômio zero e o grau é indefinido (mas esse caso deve ser verificado).

Passo 2

Primeiro encontramos quando o coeficiente líder (o do termo x^{4}) é zero:
9-p^{2}=0.
Fatorando:
9-p^{2}=(3-p)(3+p).
Logo 9-p^{2}=0 exatamente quando p=3 ou p=-3.

Passo 3

Se p\neq 3 e p\neq -3, então 9-p^{2}\neq 0. Pelo critério do grau (maior expoente com coeficiente não nulo), o grau do polinômio é 4 nesses casos. Então:
\text{para }p\neq \pm 3\quad\Rightarrow\quad\deg P=4.

Passo 4

Agora analisa-se o caso p=-3. Substituindo p=-3 nos coeficientes:
  • Coeficiente de x^{4}: 9-(-3)^{2}=9-9=0.
  • Coeficiente de x^{3}: 3-(-3)=3+3=6, que é diferente de zero.
    Como o coeficiente de x^{4} anula-se mas o de x^{3} é não nulo, o maior expoente com coeficiente não nulo passa a ser 3. Assim:
\text{para }p=-3\quad\Rightarrow\quad\deg P=3.

Passo 5

Analisa-se o caso p=3. Substituindo p=3 nos coeficientes:
  • Coeficiente de x^{4}: 9-3^{2}=9-9=0.
  • Coeficiente de x^{3}: 3-3=0.
  • Coeficiente de x^{2}: 3, que é diferente de zero.
    Portanto os termos de grau 4 e 3 desaparecem, mas o termo de grau 2 permanece. Logo:
\text{para }p=3\quad\Rightarrow\quad\deg P=2.

Passo 6

Verificação extra (importante na prova): para que o polinômio fosse o polinômio zero, todos os coeficientes teriam de ser zero simultaneamente. Mas o coeficiente de x^{2} é sempre 3, independentemente de p, e 3\neq 0. Logo o polinômio nunca é o polinômio zero para nenhum p\in\mathbb{R}; o grau está sempre bem definido nos casos acima.

Resposta

Para p\neq \pm 3: \deg P=4
Para p=-3: \deg P=3
Para p=3: \deg P=2

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