Questão 9 (CESPE - TCE/SC - 2016). Um empréstimo de R$25.000, 00 foi quitado pelo sistema de amortização misto em 10 parcelas mensais e consecutivas à taxa de juros compostos de 4 \%ao mês. A primeira parcela foi paga um mês após a tomada do empréstimo. Nessa situação, considerando 1,5 como valor aproximado para 1,04^{10}, a amortização correspondente à primeira parcela foi superior a \mathrm{R} \2.300,00$.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
  • Valor do empréstimo (principal): P = 25\,000 (reais).
  • Número de parcelas: n = 10 (mensais e consecutivas).
  • Taxa de juros compostos mensal: i = 4\% = 0{,}04.
  • A primeira parcela foi paga 1 mês após o empréstimo.
  • Aproximação fornecida: 1{,}04^{10} \approx 1{,}5.
O enunciado pede verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A amortização correspondente à primeira parcela foi superior a \mathrm{R}\$\,2{,}300{,}00.”

Passo 2

Primeiro, preciso explicar o que é “amortização” na primeira parcela.
  • Em qualquer sistema de amortização, uma parcela (pagamento) em um mês é composta de duas partes: juros sobre o saldo devedor daquele mês e amortização (redução do principal).
  • Se a parcela no mês 1 for R_1 e os juros do mês 1 forem J_1, então a amortização no mês 1 é
\text{amortização}_1 = R_1 - J_1.çã
  • Os juros do primeiro mês são calculados sobre o principal inicial:
J_1 = P \cdot i = 25\,000 \cdot 0{,}04.
Vou calcular J_1 já para termos um número concreto.

Passo 3

Cálculo dos juros do primeiro mês.
J_1 = 25\,000 \cdot 0{,}04 = 1\,000.
Então, qualquer que seja o sistema, a parte de juros da primeira parcela é \mathrm{R}\$\,1{,}000. A amortização do primeiro mês será a parcela R_1 menos 1\,000.
Agora vou comparar dois sistemas usuais (estes servem para formar os limites): o sistema SAC (amortização constante) e o sistema Price (parcelas constantes). Eles dão, respectivamente, o amortização máxima e mínima possíveis para a primeira parcela, para um mesmo P,n,i.

Passo 4

Sistema SAC (amortização constante) — explicação e cálculo.
  • No SAC a amortização é constante ao longo das parcelas: cada mês a amortização vale A = \dfrac{P}{n}.
  • Aqui:
A_{\text{SAC}} = \frac{25\,000}{10} = 2\,500.
  • Então, no primeiro mês, a amortização seria \mathrm{R}\$\,2\,500, que é maior que \mathrm{R}\$\,2\,300.
(Observação didática: SAC dá a maior amortização inicial porque se prioriza reduzir o principal de forma igual em cada parcela; por isso os juros de meses seguintes caem rapidamente.)

Passo 5

Sistema Price (parcelas constantes) — fórmula, explicação e cálculo.
  • No sistema Price as parcelas são todas iguais; a fórmula da parcela constante (anuidade) é
R = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}},
onde P é o principal, i a taxa por período e n o número de parcelas. Aqui explicando cada símbolo: R = valor da parcela fixa; P = empréstimo inicial; i = taxa por período; n = número total de parcelas.
  • Usando a aproximação dada: (1+i)^n = 1{,}04^{10} \approx 1{,}5. Logo (1+i)^{-n} \approx \dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}666666.
  • Substituindo na fórmula:
R = 25\,000\cdot\frac{0{,}04}{1-(1{,}04)^{-10}} \approx 25\,000\cdot\frac{0{,}04}{1-\tfrac{2}{3}} = 25\,000\cdot\frac{0{,}04}{\tfrac{1}{3}}.
R \approx 25\,000\cdot 0{,}04\cdot 3 = 25\,000\cdot 0{,}12 = 3\,000.
  • No sistema Price, a parcela fixa é aproximadamente \mathrm{R}\$\,3\,000. Como já calculei J_1 = 1\,000, a amortização no primeiro mês é
\text{amortização}_1^{\text{Price}} = R - J_1 \approx 3\,000 - 1\,000 = 2\,000.çã
  • Portanto, no Price a amortização inicial é \mathrm{R}\$\,2\,000, que é menor que \mathrm{R}\$\,2\,300.
(Observação didática: Price minimiza a amortização inicial porque mantém a parcela fixa e assim, inicialmente, paga-se mais juros.)

Passo 6

Interpretação para o “sistema de amortização misto” e conclusão lógica.
  • Com os mesmos P,n,i, o sistema SAC dá a maior amortização inicial possível entre os sistemas clássicos (aqui 2\,500) e o sistema Price dá a menor amortização inicial ( 2\,000).
  • Um “sistema misto” é, em termos práticos, uma combinação/interpolação entre essas maneiras de amortizar; portanto a amortização da primeira parcela em um sistema misto estará entre esses dois extremos: entre 2\,000 e 2\,500.
  • O valor \mathrm{R}\$\,2\,300 está dentro desse intervalo, ou seja, dependendo de como for o “misto” a amortização da primeira parcela pode ser maior ou pode ser menor que 2\,300. Em particular já encontramos um sistema (o Price) em que a amortização inicial é 2\,000 < 2\,300.
  • O enunciado afirma categoricamente que a amortização correspondente à primeira parcela foi superior a \mathrm{R}\$\,2\,300{,}00. Como a amortização poderia ser, por exemplo, \mathrm{R}\$\,2\,000 (caso fosse o sistema Price) e o enunciado não dá informação extra que force o valor a ser maior que 2\,300, a afirmação não é necessariamente verdadeira.

Resposta

Falso.

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