Questão 9 (CESPE - TCE/SC - 2016). Um empréstimo de R$25.000, 00 foi quitado pelo sistema de amortização misto em 10 parcelas mensais e consecutivas à taxa de juros compostos de
ao mês. A primeira parcela foi paga um mês após a tomada do empréstimo. Nessa situação, considerando 1,5 como valor aproximado para
, a amortização correspondente à primeira parcela foi superior a
2.300,00$.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
- Valor do empréstimo (principal):
(reais). - Número de parcelas:
(mensais e consecutivas). - Taxa de juros compostos mensal:
. - A primeira parcela foi paga 1 mês após o empréstimo.
- Aproximação fornecida:
.
O enunciado pede verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“A amortização correspondente à primeira parcela foi superior a
.”
Passo 2
Primeiro, preciso explicar o que é “amortização” na primeira parcela.
- Em qualquer sistema de amortização, uma parcela (pagamento) em um mês é composta de duas partes: juros sobre o saldo devedor daquele mês e amortização (redução do principal).
- Se a parcela no mês 1 for
e os juros do mês 1 forem , então a amortização no mês 1 é
- Os juros do primeiro mês são calculados sobre o principal inicial:
Vou calcular
já para termos um número concreto.
Passo 3
Cálculo dos juros do primeiro mês.
Então, qualquer que seja o sistema, a parte de juros da primeira parcela é
. A amortização do primeiro mês será a parcela
menos
.
Agora vou comparar dois sistemas usuais (estes servem para formar os limites): o sistema SAC (amortização constante) e o sistema Price (parcelas constantes). Eles dão, respectivamente, o amortização máxima e mínima possíveis para a primeira parcela, para um mesmo
.
Passo 4
Sistema SAC (amortização constante) — explicação e cálculo.
- No SAC a amortização é constante ao longo das parcelas: cada mês a amortização vale
. - Aqui:
- Então, no primeiro mês, a amortização seria
, que é maior que .
(Observação didática: SAC dá a maior amortização inicial porque se prioriza reduzir o principal de forma igual em cada parcela; por isso os juros de meses seguintes caem rapidamente.)
Passo 5
Sistema Price (parcelas constantes) — fórmula, explicação e cálculo.
- No sistema Price as parcelas são todas iguais; a fórmula da parcela constante (anuidade) é
onde
é o principal,
a taxa por período e
o número de parcelas. Aqui explicando cada símbolo:
= valor da parcela fixa;
= empréstimo inicial;
= taxa por período;
= número total de parcelas.
- Usando a aproximação dada:
. Logo . - Substituindo na fórmula:
- No sistema Price, a parcela fixa é aproximadamente
. Como já calculei , a amortização no primeiro mês é
- Portanto, no Price a amortização inicial é
, que é menor que .
(Observação didática: Price minimiza a amortização inicial porque mantém a parcela fixa e assim, inicialmente, paga-se mais juros.)
Passo 6
Interpretação para o “sistema de amortização misto” e conclusão lógica.
- Com os mesmos
, o sistema SAC dá a maior amortização inicial possível entre os sistemas clássicos (aqui ) e o sistema Price dá a menor amortização inicial ( ). - Um “sistema misto” é, em termos práticos, uma combinação/interpolação entre essas maneiras de amortizar; portanto a amortização da primeira parcela em um sistema misto estará entre esses dois extremos: entre
e . - O valor
está dentro desse intervalo, ou seja, dependendo de como for o “misto” a amortização da primeira parcela pode ser maior ou pode ser menor que . Em particular já encontramos um sistema (o Price) em que a amortização inicial é . - O enunciado afirma categoricamente que a amortização correspondente à primeira parcela foi superior a
. Como a amortização poderia ser, por exemplo, (caso fosse o sistema Price) e o enunciado não dá informação extra que force o valor a ser maior que , a afirmação não é necessariamente verdadeira.
Resposta
Falso.