Questão 8 (FGV BANESTES - 2018). Considere um sistema misto de amortização de financiamentos em que cada prestação é a média aritmética entre as prestações correspondentes nos sistemas SAC e Price, nas mesmas condições. Um empréstimo de
30.000,00
7 %$ a.m. Se o sistema utilizado para a quitação desse empréstimo for o descrito acima, a diferença positiva entre as duas primeiras prestações será igual a:
(Dado:
e
)
a)
200,00
;
c)
175,00
;
e)
195,00$;
(Dado:
a)
c)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Empréstimo:
. - Número de prestações:
(mensais). - Taxa efetiva mensal:
, ou seja . - A primeira prestação é paga um mês após a contratação.
- Definição do sistema misto: cada prestação
é a média aritmética entre a prestação correspondente no sistema SAC (vou chamar de ) e a prestação correspondente no sistema Price (vou chamar de ): - Dados auxiliares fornecidos:
e .
O que o enunciado pede:
- Calcular a diferença positiva entre as duas primeiras prestações no sistema descrito, isto é o valor de
(positivo).
Passo 2
Explicação e cálculo das prestações no sistema SAC (sistema de amortização constante).
Conceito rápido: no SAC a parcela de amortização é constante em todos os períodos e igual a
onde
é o valor do empréstimo e
o número de prestações. Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
Aplicando aos números:
Juros da 1ª prestação: juros sobre o saldo inicial
:
Logo a 1ª prestação no SAC é
Saldo devedor após a 1ª amortização:
.
Juros da 2ª prestação: juros sobre o saldo
:
Assim a 2ª prestação no SAC é
Diferença entre as duas primeiras prestações no SAC:
Passo 3
Explicação e cálculo da prestação no sistema Price (sistema de prestações constantes — anuidade).
Conceito rápido: no sistema Price a prestação
é constante e dada pela fórmula da anuidade
onde
é o empréstimo,
a taxa por período e
o número de períodos. Aqui
.
Usando a informação fornecida
, temos
Portanto o denominador da fórmula é
Logo
Calculando:
Portanto
Observação importante: como as parcelas em Price são constantes,
.
Passo 4
Cálculo das parcelas no sistema misto e da diferença pedida.
Recordando a definição do sistema misto:
Então a diferença entre as duas primeiras prestações no sistema misto é
Como vimos,
, portanto
Para verificar numericamente as parcelas mistas:
diferença
, consistente com o cálculo anterior.
Força aí — já era!