Questão 8 (FGV BANESTES - 2018). Considere um sistema misto de amortização de financiamentos em que cada prestação é a média aritmética entre as prestações correspondentes nos sistemas SAC e Price, nas mesmas condições. Um empréstimo de \mathrm{R} \ 30.000,00 será quitado em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga um mês após a contratação do empréstimo. A taxa efetiva de juros utilizada é deáçõêóçãéé7 %$ a.m. Se o sistema utilizado para a quitação desse empréstimo for o descrito acima, a diferença positiva entre as duas primeiras prestações será igual a:
(Dado: 1,07^{5}=1,4 e 1,07^{6}=1,5 )
a) \mathrm{R} \ 200,00 ; b) \(\mathrm{R} \\) 185,00;
c) \mathrm{R} \ 175,00 ; d) \(\mathrm{R} \\) 210,00;
e) \mathrm{R} \ 195,00$;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Empréstimo: \text{R\$ }30.000{,}00.
  • Número de prestações: n=6 (mensais).
  • Taxa efetiva mensal: i=7\%, ou seja i=0,07.
  • A primeira prestação é paga um mês após a contratação.
  • Definição do sistema misto: cada prestação M_k é a média aritmética entre a prestação correspondente no sistema SAC (vou chamar de A_k) e a prestação correspondente no sistema Price (vou chamar de P_k): M_k=\frac{A_k+P_k}{2}.
  • Dados auxiliares fornecidos: 1,07^{5}=1,4 e 1,07^{6}=1,5.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a diferença positiva entre as duas primeiras prestações no sistema descrito, isto é o valor de M_1-M_2 (positivo).

Passo 2

Explicação e cálculo das prestações no sistema SAC (sistema de amortização constante).
Conceito rápido: no SAC a parcela de amortização é constante em todos os períodos e igual a
a=\frac{L}{n},
onde L é o valor do empréstimo e n o número de prestações. Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
Aplicando aos números:
a=\frac{30.000}{6}=5.000.
Juros da 1ª prestação: juros sobre o saldo inicial L=30.000:
J_1=i\cdot L=0,07\cdot 30.000=2.100.
Logo a 1ª prestação no SAC é
A_1=a+J_1=5.000+2.100=7.100.
Saldo devedor após a 1ª amortização: 30.000-5.000=25.000.
Juros da 2ª prestação: juros sobre o saldo 25.000:
J_2=0,07\cdot 25.000=1.750.
Assim a 2ª prestação no SAC é
A_2=a+J_2=5.000+1.750=6.750.
Diferença entre as duas primeiras prestações no SAC:
A_1-A_2=7.100-6.750=350.

Passo 3

Explicação e cálculo da prestação no sistema Price (sistema de prestações constantes — anuidade).
Conceito rápido: no sistema Price a prestação P é constante e dada pela fórmula da anuidade
P=L\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}},
onde L é o empréstimo, i a taxa por período e n o número de períodos. Aqui P_1=P_2=\cdots=P_6.
Usando a informação fornecida (1+i)^{6}=1,5, temos
(1+i)^{-6}=\frac{1}{1,07^{6}}=\frac{1}{1,5}=\tfrac{2}{3}.
Portanto o denominador da fórmula é
1-(1+i)^{-6}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Logo
P=30.000\cdot\frac{0,07}{\tfrac{1}{3}}=30.000\cdot 0,07\cdot 3.
Calculando:
30.000\cdot 0,07=2.100,\quad 2.100\cdot 3=6.300.
Portanto
P_1=P_2=6.300.
Observação importante: como as parcelas em Price são constantes, P_1-P_2=0.

Passo 4

Cálculo das parcelas no sistema misto e da diferença pedida.
Recordando a definição do sistema misto:
M_k=\frac{A_k+P_k}{2}.
Então a diferença entre as duas primeiras prestações no sistema misto é
M_1-M_2=\frac{A_1+P_1}{2}-\frac{A_2+P_2}{2}=\frac{(A_1-A_2)+(P_1-P_2)}{2}.
Como vimos, P_1-P_2=0, portanto
M_1-M_2=\frac{A_1-A_2}{2}=\frac{350}{2}=175.
Para verificar numericamente as parcelas mistas:
M_1=\frac{7.100+6.300}{2}=\frac{13.400}{2}=6.700,
M_2=\frac{6.750+6.300}{2}=\frac{13.050}{2}=6.525,
diferença 6.700-6.525=175, consistente com o cálculo anterior.
Força aí — já era!

Resposta

\text{R\$ }175{,}00

Exercícios relacionados