Questão 7 (CEPERJ - SEFAZ/RJ - 2011 - adaptada). Um financiamento no valor de R$35.000,00 é concedido para pagamento em 12 prestações mensais iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de
ao mês, o valor das prestações será de: (Dado:
)
A)
4.155,70$
B)
4.101,80$
C)
D)
4.005,77$
E)
3.879,44$
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor da prestação mensal:
- Valor do financiamento (capital inicial):
(em reais). - Número de prestações iguais:
. - Há
meses de carência (ou seja, não se paga nas primeiras 3 parcelas; os juros desses meses são capitalizados). - Taxa de juros mensal:
, isto é, . - Dado numérico:
.
O que se pede: calcular o valor da prestação mensal nivelada (valor das 12 prestações iguais que começam após os 3 meses de carência).
Passo 2
Entender como montar a equação financeira (fórmula do valor presente de uma anuidade postecipada, e como a carência entra).
- Se tivermos uma anuidade de
prestações iguais de valor pagas ao final de cada período, a soma dos valores presentes dessas prestações (no instante imediatamente antes da primeira prestação) é a soma de uma progressão geométrica:
- Essa soma é uma série geométrica. A soma da série geométrica com razão
e termos vale
Substituindo
obtemos a fórmula conhecida do valor presente de uma anuidade postecipada:
Aqui:
-
é o valor presente (no instante imediatamente antes da 1ª prestação), -
é o valor de cada prestação, -
é a taxa por período, -
é o número de prestações.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso com carência.
- Como há 3 meses de carência e os juros são capitalizados, o montante do empréstimo no instante imediatamente antes da primeira prestação (isto é, após os 3 meses) é o capital inicial acrescido dos juros desses 3 meses:
- Esse montante deve ser exatamente o valor presente das
prestações, calculado pela fórmula da anuidade:
- Isolando
(o valor da prestação):
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente passo a passo usando
e o dado
.
- Calcular
:
- Montante no início das prestações:
- Calcular o fator
. É mais prático reescrever o denominador usando o dado fornecido:
Logo
Substituindo
:
- Finalmente, o valor da prestação:
(As contas intermediárias foram detalhadas acima; o resultado arredondado aos centavos é
.)
Passo 5
Interpretação prática: o cálculo mostra que, com capitalização durante os 3 meses de carência, o empréstimo cresce e as 12 prestações que começam depois da carência ficam em torno de
. Entre as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima desse resultado é a alternativa D)
.
Resposta
D)