Questão 7 (CEPERJ - SEFAZ/RJ - 2011 - adaptada). Um financiamento no valor de R$35.000,00 é concedido para pagamento em 12 prestações mensais iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5 \%ao mês, o valor das prestações será de: (Dado: 1,035^{12}=1,511 )
A) R \ 4.155,70$
B) R \ 4.101,80$
C) \mathrm{RS} 4.051,55
D) \mathrm{R} \ 4.005,77$
E) \mathrm{R} \ 3.879,44$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor da prestação mensal:
  • Valor do financiamento (capital inicial): 35000 (em reais).
  • Número de prestações iguais: n=12.
  • 3 meses de carência (ou seja, não se paga nas primeiras 3 parcelas; os juros desses meses são capitalizados).
  • Taxa de juros mensal: 3,5\%, isto é, i=0,035.
  • Dado numérico: 1,035^{12}=1,511.
    O que se pede: calcular o valor da prestação mensal nivelada (valor das 12 prestações iguais que começam após os 3 meses de carência).

Passo 2

Entender como montar a equação financeira (fórmula do valor presente de uma anuidade postecipada, e como a carência entra).
  • Se tivermos uma anuidade de n prestações iguais de valor R pagas ao final de cada período, a soma dos valores presentes dessas prestações (no instante imediatamente antes da primeira prestação) é a soma de uma progressão geométrica:
PV = R\left(\frac{1}{1+i}+\frac{1}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+i)^n}\right).
  • Essa soma é uma série geométrica. A soma da série geométrica com razão q=\dfrac{1}{1+i} e n termos vale
\sum_{k=1}^{n} q^{k} = q\frac{1-q^{n}}{1-q}.
Substituindo q=\dfrac{1}{1+i} obtemos a fórmula conhecida do valor presente de uma anuidade postecipada:
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
  • PV é o valor presente (no instante imediatamente antes da 1ª prestação),
  • R é o valor de cada prestação,
  • i é a taxa por período,
  • n é o número de prestações.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso com carência.
  • Como há 3 meses de carência e os juros são capitalizados, o montante do empréstimo no instante imediatamente antes da primeira prestação (isto é, após os 3 meses) é o capital inicial acrescido dos juros desses 3 meses:
\text{Montante no início das prestações} = 35000\cdot(1+i)^3.íçõ
  • Esse montante deve ser exatamente o valor presente das 12 prestações, calculado pela fórmula da anuidade:
35000\cdot(1+i)^3 = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-12}}{i}.
  • Isolando R (o valor da prestação):
R = 35000\cdot(1+i)^3\cdot\frac{i}{\,1-(1+i)^{-12}\,}.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente passo a passo usando i=0,035 e o dado 1,035^{12}=1,511.
  1. Calcular (1+i)^3:
(1,035)^2 = 1,071225,
(1,035)^3 = 1,071225\times 1,035 = 1,108717875.
  1. Montante no início das prestações:
35000\cdot(1,035)^3 = 35000\cdot 1,108717875 = 38805,125625.
  1. Calcular o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-12}}. É mais prático reescrever o denominador usando o dado fornecido:
1-(1+i)^{-12} = 1-\frac{1}{1,035^{12}} = 1-\frac{1}{1,511} = \frac{1,511-1}{1,511} = \frac{0,511}{1,511}.
Logo
\frac{i}{1-(1+i)^{-12}} = i\cdot\frac{1,511}{0,511}.
Substituindo i=0,035:
0,035\cdot\frac{1,511}{0,511}\approx 0,035\cdot 2,956945\ldots \approx 0,103493\ldots
  1. Finalmente, o valor da prestação:
R \approx 38805,125625 \times 0,103493\ldots \approx 4016,06\\ (\text{reais}).
(As contas intermediárias foram detalhadas acima; o resultado arredondado aos centavos é R\approx 4016,06.)

Passo 5

Interpretação prática: o cálculo mostra que, com capitalização durante os 3 meses de carência, o empréstimo cresce e as 12 prestações que começam depois da carência ficam em torno de R\$\,4.016,06. Entre as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima desse resultado é a alternativa D) R\$\,4.005,77.

Resposta

D) R\$\,4.005,77

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