Questão n ^circ 1

No instante t=0 o estado para o átomo de hidrogênio é dado por
|psi(0)rang<==2raiz29|1,0,0rang<=+3raiz29|2,1,0rang<=+4raiz29|2,1,1rang<=,
com|varphirang<==|n, l, mzrang<=.
a) Qual é a probabilidade de se medir L^2 e encontrar como resultado o valor 2 hbar^2 ?
b) Qual é a probabilidade de se medir Lz e encontrar como resultado o valor hbar ?
c) Qual é o valor médio para a energia deste sistema? (Considere a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio igual a -13,6 eV.)
d) Encontre a função |psi(t)rang<= para t>0.

Passo 1

O enunciado nos dá um estado inicial de um elétron no átomo de hidrogênio em superposição dos autoestados l|n,l,mzrrang<=:
|psi(0)rang<= = 2raiz29|1,0,0rang<= + 3raiz29|2,1,0rang<= + 4raiz29|2,1,1rang<=
Vamos usar que (i) hat L^2|n,l,mzrang<= = hbar^2,l(l+1)|n,l,mzrang<=; (ii) hat Lz|n,l,mzrang<= = hbar,mz|n,l,mzrang<=; (iii) cada |n,l,mzrang<= é autoestado de energia En=-13,6,eV/n^2; (iv) evolução temporal em autovalores de energia é e^-iEnt/hbar.

Passo 2

Queremos a probabilidade de medir hat L^2=2hbar^2. Como l(l+1)=2 implica l=1, apenas os termos com l=1 contribuem, isto é |2,1,0rang<= e |2,1,1rang<=. Logo
P(L^2=2hbar^2) =l|3raiz29r|^2 + l|4raiz29r|^2 =9+1629 =2529

Passo 3

Queremos a probabilidade de medir hat Lz=hbar, ou seja mz=1. Só o estado |2,1,1rang<= tem mz=1, com coeficiente 4/raiz29. Assim
P(Lz=hbar) =l|4raiz29r|^2 =1629

Passo 4

O valor médio da energia é
lang<= Erang<= =sumn |cn|^2,En =429,(-13,6,eV) +9+1629,(-3,4,eV) =-54,4-8529,eV =-139,429,eVapprox -4,81,eV

Passo 5

Para t>0, cada autocomponente adquire fase exp(-iEnt/hbar). Assim
|psi(t)rang<= =2raiz29,e^-iE1t/hbar,|1,0,0rang<= +3raiz29,e^-iE2t/hbar,|2,1,0rang<= +4raiz29,e^-iE2t/hbar,|2,1,1rang<=,
onde E1=-13,6,eV e E2=-3,4,eV.

Resposta

a) 2529
b) 1629
c) -139,429,eVapprox -4,81,eV
d) |psi(t)rang<= =2raiz29,e^-i(-13,6,eV)t/hbar,|1,0,0rang<= +3raiz29,e^-i(-3,4,eV)t/hbar,|2,1,0rang<= +4raiz29,e^-i(-3,4,eV)t/hbar,|2,1,1rang<=

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