No instante o estado para o átomo de hidrogênio é dado por
.
a) Qual é a probabilidade de se medir e encontrar como resultado o valor ?
b) Qual é a probabilidade de se medir e encontrar como resultado o valor ?
c) Qual é o valor médio para a energia deste sistema? (Considere a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio igual a .)
d) Encontre a função para .
Passo 1
O enunciado nos dá um estado inicial de um elétron no átomo de hidrogênio em superposição dos autoestados :
Vamos usar que (i) hat L^2|n,l,mzrang<= = hbar^2,l(l+1)|n,l,mzrang<=; (ii) hat Lz|n,l,mzrang<= = hbar,mz|n,l,mzrang<=; (iii) cada |n,l,mzrang<= é autoestado de energia En=-13,6,eV/n^2; (iv) evolução temporal em autovalores de energia é e^-iEnt/hbar.
Passo 2
Queremos a probabilidade de medir hat L^2=2hbar^2. Como l(l+1)=2 implica l=1, apenas os termos com l=1 contribuem, isto é |2,1,0rang<= e |2,1,1rang<=. Logo