Questão 9

Classifique como racionais ou irracionais os seguintes números
a) 0,2222 ldots e) 0,54789 ldots
b) 12,5
f) 2,4458
c) 2,3434 ldots
g) raiz120
d) raiz2
h) 0,4444 ldots.

Passo 1

O enunciado pede para classificar oito números como racionais ou irracionais. Vamos usar o conteúdo de representação decimal e propriedades de raízes quadradas:
  • Um número é racional se pode ser escrito como pq com p,qinZ, qneq0.
  • Decimal finito ou periódico Leftrightarrow racional.
  • Decimal infinito não periódico Leftrightarrow irracional.
  • raizn é irracional se n não for quadrado perfeito.

Passo 2

Terminamos primeiro pelos decimais finitos:
12,5 tem representação decimal finita, logo é racional (por ex. 12510=52).
2,4458 também é decimal finito, logo racional (por ex. 2445810000).

Passo 3

Agora os decimais infinitos periódicos:
0,2222ldots repete o dígito 2 indefinidamente, portanto periódico e racional (por ex. 0,2=29).
2,3434ldots repete o bloco “ 34”, portanto periódico e racional (por ex. 2,34=234-299=23299).
0,4444ldots repete o dígito 4, periódico e racional (por ex. 0,4=49).

Passo 4

O decimal 0,54789ldots não apresenta período (não há repetição regular dos dígitos), logo é decimal infinito não periódico e, portanto, irracional.

Passo 5

As raízes quadradas:
raiz2 é clássica forma irracional, pois 2 não é quadrado perfeito.
raiz120=raiz4cdot30=2raiz30 e como 30 não é quadrado perfeito, raiz30 é irracional, logo raiz120 também é irracional.

Resposta

a) racional
b) racional
c) racional
d) irracional
e) irracional
f) racional
g) irracional
h) racional

Exercícios relacionados