Questão 3

código de prova
Deduza a equação da onda eletromagnética utilizando as Leis de Maxwell diferenciais numa região de vácuo ( varepsilono, muo ), onde não existem fontes de cargas e de correntes ( rho=0 e J=0 ). Descreva a solução esperada para a propagação dos campos elétricos e magnéticos no vácuo. Indique qual a relação entre a velocidade da luz (c) e as constantes varepsilono e muo.

Passo 1

O enunciado pede para derivar, a partir das Leis de Maxwell diferenciais no vácuo (isto é, com rho=0 e J=0), a equação de onda para os campos elétrico E e magnético B. Vamos usar as equações de Maxwell em forma diferencial e uma identidade de cálculo vetorial para chegar à equação de onda. Depois, exibiremos a forma de solução (onda plana) e a relação entre a velocidade de propagação e as constantes varepsilon0 e mu0.

Passo 2

As equações de Maxwell no vácuo, sem fontes de carga ( rho=0) nem corrente ( J=0), são:
nablacdotE=0,
nablacdotB=0,
nablatimesE=-partial Bpartial t,
nablatimesB=mu0varepsilon0,partial Epartial t

Passo 3

Para obter a equação de onda para E, fazemos o rotacional da terceira equação:
nablatimes(nablatimesE) =-partialpartial tl(nablatimesBr)
Usamos a identidade vetorial
nablatimes(nablatimesE) =nabla(nablacdotE)-nabla^2E,
e como nablacdotE=0, isso vira
-nabla^2E =-partialpartial tl(mu0varepsilon0,partialtEr) =-mu0varepsilon0,partial^2Epartial t^2
Cancelando os sinais, obtemos a equação de onda:
nabla^2E -mu0varepsilon0,partial^2Epartial t^2 =0

Passo 4

De modo análogo, para B fazemos o rotacional da quarta equação:
nablatimes(nablatimesB) =mu0varepsilon0,partialpartial t(nablatimesE) =-mu0varepsilon0,partial^2Bpartial t^2
Como nablacdotB=0, a identidade dá -nabla^2B e chegamos a
nabla^2B -mu0varepsilon0,partial^2Bpartial t^2 =0

Passo 5

Essas equações são ondas que se propagam com velocidade
v=1raizmu0,varepsilon0
No vácuo identificamos v=c, a velocidade da luz.
A solução típica é uma onda plana:
E(r,t) =E0,expl[i(kcdotr-omega t)r],
B(r,t) =B0,expl[i(kcdotr-omega t)r],
com omega=ck, kcdotE0=0, kcdotB0=0 e
B0=(1/omega),ktimesE0. Ou seja, E, B e k são mutuamente perpendiculares.

Resposta

A equação de onda para E e B no vácuo é
nabla^2E -mu0varepsilon0,partial^2Epartial t^2 =0, nabla^2B -mu0varepsilon0,partial^2Bpartial t^2 =0
A solução esperada são ondas planas transversais com omega=ck e
c=1raizmu0,varepsilon0

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