Questão 3
código de prova
Deduza a equação da onda eletromagnética utilizando as Leis de Maxwell diferenciais numa região de vácuo (
), onde não existem fontes de cargas e de correntes (
e
). Descreva a solução esperada para a propagação dos campos elétricos e magnéticos no vácuo. Indique qual a relação entre a velocidade da luz (c) e as constantes
e
.
Passo 1
O enunciado pede para derivar, a partir das Leis de Maxwell diferenciais no vácuo (isto é, com
e
), a equação de onda para os campos elétrico
e magnético
. Vamos usar as equações de Maxwell em forma diferencial e uma identidade de cálculo vetorial para chegar à equação de onda. Depois, exibiremos a forma de solução (onda plana) e a relação entre a velocidade de propagação e as constantes
e
.
Passo 2
As equações de Maxwell no vácuo, sem fontes de carga (
) nem corrente (
), são:
Passo 3
Para obter a equação de onda para
, fazemos o rotacional da terceira equação:
Usamos a identidade vetorial
e como
, isso vira
Cancelando os sinais, obtemos a equação de onda:
Passo 4
De modo análogo, para
fazemos o rotacional da quarta equação:
Como
, a identidade dá
e chegamos a
Passo 5
Essas equações são ondas que se propagam com velocidade
No vácuo identificamos
, a velocidade da luz.
A solução típica é uma onda plana:
A solução típica é uma onda plana:
com
,
,
e
. Ou seja,
,
e
são mutuamente perpendiculares.
Resposta
A equação de onda para
e
no vácuo é
A solução esperada são ondas planas transversais com
e