Questão 1

código de prova
Uma partícula de massa m está confinada em uma região 1 -dim -a2<x<a2 por um potencial
V(x)=lc 0 & ,-a2<x<a2 infty & , outros pontos
a) Determine as autofunções normalizadas, varphi(x), e os respectivos autovalores da energia.
No instante t=0 a função de onda normalizada da partícula é dada por
psi(x, 0)=raiz2a[12+raiz3 sin (pi xa)] cos (pi xa)
b) Calcule o valor médio da energia no instante t=0.
c) Calcule a probabilidade de uma medida, no instante t=0, ter como resultado o valor pi^2 hbar^22 m a^2.
d) Determine psi(x, t) para um instante t>0.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m confinada num poço infinito de largura a que ocupa -tfraca2<x<tfraca2. O potencial é zero dentro e infinito fora, então as autofunções surgem das condições de contorno varphi(pmtfraca2)=0. Precisamos determinar:
a) as autofunções normalizadas e os autovalores de energia;
b) o valor médio da energia em t=0;
c) a probabilidade de medir pi^2hbar^22ma^2 em t=0;
d) a evolução temporal psi(x,t).

Passo 2

Dentro do poço a solução da equação de Schrödinger independente do tempo satisfaz
-hbar^22md^2varphidx^2=Evarphi
com varphi(pmtfraca2)=0. As soluções são pares e ímpares alternados:
para n ímpar ( n=1,3,5,dots):
varphin(x)=raiz2acos!l(tfracnpi xar),
para n par ( n=2,4,6,dots):
varphin(x)=raiz2asin!l(tfracnpi xar)
Os autovalores são
En=n^2pi^2hbar^22ma^2, n=1,2,3,dots

Passo 3

Reescrevemos
psi(x,0)=raiztfrac2al[tfrac12+raiz3,sin!l(tfracpi xar)r]cos!l(tfracpi xar)
Usando sinthetacostheta=tfrac12sin2theta obtemos
psi(x,0)=raiztfrac2al(tfrac12cos!tfracpi xa+tfracraiz32sin!tfrac2pi xar) =tfrac12,varphi1(x)+tfracraiz32,varphi2(x)
Logo os coeficientes de expansão são c1=tfrac12 e c2=tfracraiz32.

Passo 4

O valor médio da energia em t=0 é
lang<= Erang<==sumn|cn|^2En =l|c1r|^2E1+l|c2r|^2E2 =tfrac14E1+tfrac34E2
Como E2=4E1, temos
lang<= Erang<= =tfrac14E1+tfrac34,4E1 =tfrac14E1+3E1 =tfrac134E1 =13pi^2hbar^28ma^2

Passo 5

A probabilidade de medir E1=pi^2hbar^22ma^2 é
P(E1)=|c1|^2=l(tfrac12r)^2=tfrac14

Passo 6

Como a evolução de cada modo é varphin(x)e^-iEnt/hbar, obtemos
psi(x,t) =tfrac12,varphi1(x)e^-iE1t/hbar +tfracraiz32,varphi2(x)e^-iE2t/hbar

Resposta

(a) varphin(x)= raiztfrac2acosl(tfracnpi xar),&n=1,3,5,dots,[6pt] raiztfrac2asinl(tfracnpi xar),&n=2,4,6,dots, En=tfracn^2pi^2hbar^22ma^2
(b) lang<= Erang<==tfrac13pi^2hbar^28ma^2
(c) Pl(E1r)=tfrac14
(d) psi(x,t)=tfrac12varphi1(x)e^-iE1t/hbar+tfracraiz32varphi2(x)e^-iE2t/hbar]

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