Questão 2

A Companhia Pashtu está procedendo à avaliação de dois projetos de investimento, mutuamente excludentes, para aumentar sua produção. A administração desenvolveu estimativas otimistas, mais prováveis e pessimistas para os fluxos de caixa, com as probabilidades de \mathbf{2 5} \boldsymbol{\%}, \mathbf{5 0} \boldsymbol{\%} e \mathbf{2 5} \boldsymbol{\%}, respectivamente, conforme quadro abaixo.
Prob. Projeto X Projeto Y
Pessimista 25 \% R \ 1.400,00 & R$-10.000,00$
Mais
Provável
50 \% R \ 5.000,00 & R$5.200,00$
Otimista 25 \% R \ 9.000,00 & R$20.000,00$
Então, os lucros esperados para os projetos X e Y são, respectivamente:
a. \mathbf{R} \ 5.100,00 e\mathbf{R} $5.150,00$
b. \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{5 . 0 0 0 , 0 0} e\mathbf{R} \boldsymbol{$} \mathbf{5 . 2 0 0 , 0 0}$
c. \mathbf{R} \ 5.050,00 e\mathbf{R} $5.150,00$
d. \mathbf{R} \ 5.100,00 e\mathbf{R} $5.100,00$
e \mathbf{R} \ 5.050,00 e\mathbf{R} $5.100,00$

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os lucros esperados (valores esperados) dos projetos X e Y dadas três situações (pessimista, mais provável, otimista) com probabilidades \,25\%\,,\,50\%\,,\,25\%, respectivamente.
Informações fornecidas (retirei diretamente a tabela do enunciado):
  • Probabilidades: \,0,25\,,\,0,50\,,\,0,25.
  • Projeto X: cenários com valores \,1400\,,\,5000\,,\,9000.
  • Projeto Y: cenários com valores -10000\,,\,5200\,,\,20000.
    Pergunta explícita: “Então, os lucros esperados para os projetos X e Y são, respectivamente: ?” (opções múltipla escolha dadas).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): valor esperado como média ponderada.
  • Definição: o valor esperado de um conjunto de resultados é a soma de cada resultado multiplicado pela sua probabilidade.
  • Fórmula geral (cada símbolo explicado):
E = \sum_{i} p_i x_i
onde E é o valor esperado, p_i é a probabilidade do i-ésimo cenário (soma das probabilidades = 1) e x_i é o resultado (lucro) associado ao i-ésimo cenário.
  • Interpretação prática: você multiplica cada resultado pelo seu “peso” (probabilidade) e soma tudo — é uma média onde cenários mais prováveis contam mais.
    Pequeno exemplo concreto (para fixar): se eu tenho dois resultados 10 com probabilidade 0,5 e 20 com probabilidade 0,5, o valor esperado é 0,5\cdot 10 + 0,5\cdot 20 = 5 + 10 = 15.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao Projeto X. Vamos escrever explicitamente os termos (cada número em TeX):
E(X) = 0,25\cdot 1400 + 0,50\cdot 5000 + 0,25\cdot 9000
Agora calculamos cada produto separadamente (mostrando as contas):
0,25\cdot 1400 = 350
0,50\cdot 5000 = 2500
0,25\cdot 9000 = 2250
Somando os termos para obter o valor esperado:
E(X) = 350 + 2500 + 2250 = 5100
Portanto o lucro esperado do projeto X é \,E(X)=R\$\,5.100,00.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao Projeto Y. Escrevemos os termos:
E(Y) = 0,25\cdot (-10000) + 0,50\cdot 5200 + 0,25\cdot 20000
Calculamos cada produto (atenção ao sinal negativo no primeiro termo):
0,25\cdot (-10000) = -2500
0,50\cdot 5200 = 2600
0,25\cdot 20000 = 5000
Agora somamos os termos passo a passo: primeiro somamos os dois últimos positivos:
2600 + 5000 = 7600
agora adicionamos o termo negativo:
E(Y) = -2500 + 7600 = 5100
Portanto o lucro esperado do projeto Y é \,E(Y)=R\$\,5.100,00.

Passo 5

Interpretação final e escolha da alternativa: ambos os projetos têm o mesmo lucro esperado R\$\,5.100,00. Comparando com as opções dadas, a alternativa correta é a que indica R\$\,5.100,00 e R\$\,5.100,00, ou seja, a letra (d).

Resposta

R\$\,5.100,00
R\$\,5.100,00
(d)

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