2-) Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Paulo paga a Helena
5,00
\mathrm{R} $2,00$. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, qual o valor esperado dos ganhos de Helena(considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga a Paulo)?
Passo 1
O enunciado pede o valor esperado dos ganhos de Helena quando Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda honesta. As informações relevantes são:
- Se o resultado dos dois lançamentos for duas caras, Helena recebe de Paulo
. - Se o resultado for qualquer outro (cara-coroa, coroa-cara ou coroa-coroa), Helena paga a Paulo
. Como combinado, quando Helena paga é ganho negativo para ela. - As duas moedas são estatisticamente honestas (justas) e os lançamentos são independentes.
A pergunta única é: qual o valor esperado do ganho de Helena?
Passo 2
Vamos formalizar: defino a variável aleatória
como o ganho de Helena (em reais) em uma única rodada. O conceito de valor esperado (ou esperança) é a média ponderada dos possíveis valores de
pelas suas probabilidades. A fórmula geral que vamos usar é
onde
são os possíveis valores que
pode assumir e
são as probabilidades correspondentes. Intuição: multiplico cada ganho possível pela chance de acontecer e somo tudo — isso dá o ganho médio a longo prazo.
Passo 3
Listo o espaço amostral dos dois lançamentos (cada moeda tem dois lados):
, onde
= cara e
= coroa. Como as moedas são honestas e independentes, cada um desses quatro resultados é igualmente provável, com probabilidade
Passo 4
Agora relaciono cada resultado com o ganho
de Helena:
- Se ocorrer
, então . - Se ocorrer
, ou , então Helena paga R$2,00, logo .
Podemos então resumir os valores possíveis dee suas probabilidades:
Passo 5
Aplicando a fórmula do valor esperado com esses dois casos:
Explico cada termo:
é a chance de ganhar
, e
é a chance de ter ganho
.
Passo 6
Faço as contas passo a passo:
Calculando:
Logo
Convertendo para reais em formato decimal (usando vírgula como separador):
Passo 7
Interpretação:
significa que, em média, Helena perde
por rodada. Em outras palavras, o jogo é desfavorável a ela; a longo prazo ela perde 25 centavos por jogo em média. Força aí — agora você sabe como montar a esperança: listar resultados, payoffs e somar cada payoff vezes sua probabilidade.