2-) Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Paulo paga a Helena \mathrm{R} \ 5,00 . Dando qualquer outro resultado, Helena paga a Paulo\mathrm{R} $2,00$. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, qual o valor esperado dos ganhos de Helena(considerando-se como ganhos negativos os valores que ela paga a Paulo)?

Passo 1

O enunciado pede o valor esperado dos ganhos de Helena quando Paulo e Helena jogam, cada um, uma moeda honesta. As informações relevantes são:
  • Se o resultado dos dois lançamentos for duas caras, Helena recebe de Paulo \text{R\$ }5,00.
  • Se o resultado for qualquer outro (cara-coroa, coroa-cara ou coroa-coroa), Helena paga a Paulo \text{R\$ }2,00. Como combinado, quando Helena paga é ganho negativo para ela.
  • As duas moedas são estatisticamente honestas (justas) e os lançamentos são independentes.
    A pergunta única é: qual o valor esperado do ganho de Helena?

Passo 2

Vamos formalizar: defino a variável aleatória X como o ganho de Helena (em reais) em uma única rodada. O conceito de valor esperado (ou esperança) é a média ponderada dos possíveis valores de X pelas suas probabilidades. A fórmula geral que vamos usar é
E[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde x_i são os possíveis valores que X pode assumir e P(X=x_i) são as probabilidades correspondentes. Intuição: multiplico cada ganho possível pela chance de acontecer e somo tudo — isso dá o ganho médio a longo prazo.

Passo 3

Listo o espaço amostral dos dois lançamentos (cada moeda tem dois lados): \{HH, HT, TH, TT\}, onde H = cara e T = coroa. Como as moedas são honestas e independentes, cada um desses quatro resultados é igualmente provável, com probabilidade
P(HH)=P(HT)=P(TH)=P(TT)=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Agora relaciono cada resultado com o ganho X de Helena:
  • Se ocorrer HH, então X=\text{R\$ }5,00.
  • Se ocorrer HT, TH ou TT, então Helena paga R$2,00, logo X=-\text{R\$ }2,00.
    Podemos então resumir os valores possíveis de X e suas probabilidades:
X=\begin{cases} \text{R\$ }5,00 & \text{com probabilidade }P(HH)=\tfrac{1}{4},\\[4pt] -\text{R\$ }2,00 & \text{com probabilidade }P(HT\text{ ou }TH\text{ ou }TT)=\tfrac{3}{4}. \end{cases}]

Passo 5

Aplicando a fórmula do valor esperado com esses dois casos:
E[X]=\left(\tfrac{1}{4}\right)\cdot\bigl(\text{R\$}5,00\bigr)+\left(\tfrac{3}{4}\right)\cdot\bigl(-\text{R\$ }2,00\bigr).
Explico cada termo: \tfrac{1}{4} é a chance de ganhar \text{R\$}5,00, e \tfrac{3}{4} é a chance de ter ganho -\text{R\$ }2,00.

Passo 6

Faço as contas passo a passo:
E[X]=\tfrac{1}{4}\cdot 5 - \tfrac{3}{4}\cdot 2.
Calculando:
\tfrac{1}{4}\cdot 5=\tfrac{5}{4}, \qquad \tfrac{3}{4}\cdot 2=\tfrac{6}{4}.
Logo
E[X]=\tfrac{5}{4}-\tfrac{6}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Convertendo para reais em formato decimal (usando vírgula como separador):
-\tfrac{1}{4} = -0,25.

Passo 7

Interpretação: E[X]=-\text{R\$}0,25 significa que, em média, Helena perde \text{R\$ }0,25 por rodada. Em outras palavras, o jogo é desfavorável a ela; a longo prazo ela perde 25 centavos por jogo em média. Força aí — agora você sabe como montar a esperança: listar resultados, payoffs e somar cada payoff vezes sua probabilidade.

Resposta

-\text{R\$ }0,25

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