Um investidor espera conseguir, com uma determinada aplicação no mercado financeiro, as seguintes taxas reais de juros em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”.
Cenário
Taxa Real de Juros
(\%)
Distribuição de
Probabilidades do
Cenário
Bom +10 0,30
Médio +8 0,50
Ruim +5 0,20

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de probabilidades para a taxa real de juros em três cenários. As informações relevantes são:
\begin{array}{l|c|c} \text{Cenário} & \text{Taxa real de juros (\%)} & \text{Probabilidade} \\\ \hline \text{Bom} & 10 & 0{,}30 \\\ \text{Médio} & 8 & 0{,}50 \\\ \text{Ruim} & 5 & 0{,}20 \end{array}
As perguntas que vamos responder (inferidas como típicas para esse exercício) são:
  1. Calcular a taxa real esperada (valor esperado) da aplicação.
  2. Calcular a medida de risco: a variância da taxa.
  3. Calcular o desvio-padrão (a raiz da variância) como medida de risco na mesma unidade da taxa.

Passo 2

Definimos a variável aleatória \,R\)\, que representa a taxa real de juros (em \(\%\)). Os possíveis valores e probabilidades são: \[R = \begin{cases} 10 & \text{com probabilidade }0{,}30,\\[4pt] 8 & \text{com probabilidade }0{,}50,\\[4pt] 5 & \text{com probabilidade }0{,}20. \end{cases}
Agora a fórmula do valor esperado (média) para uma variável discreta é:
E[R]=\sum_{i} p_i r_i,
onde p_i\] é a probabilidade do i-ésimo resultado e \(r_i é o valor da variável nesse resultado. Aqui E[R] será expresso em \%.
Explicando cada símbolo da fórmula: E[R] é a média ponderada das taxas; p_i são os pesos (probabilidades) que somam 1; r_i são os valores (10, 8, 5).]

Passo 3

Calculamos o valor esperado usando a fórmula:
E[R]=0{,}30\cdot 10 + 0{,}50\cdot 8 + 0{,}20\cdot 5.
Agora fazemos as multiplicações passo a passo:
0{,}30\cdot 10 = 3{,}0,
0{,}50\cdot 8 = 4{,}0,
0{,}20\cdot 5 = 1{,}0.
Somando:
E[R]=3{,}0 + 4{,}0 + 1{,}0 = 8{,}0.
Portanto a taxa real esperada é \,E[R]=8\%.

Passo 4

Agora vamos calcular a variância. A definição usual da variância para variável discreta é:
\operatorname{Var}(R)=E\big[(R-E[R])^{2}\big]=\sum_{i} p_i\big(r_i-E[R]\big)^{2}.
Aqui r_i-E[R] é o desvio de cada resultado em relação à média, (r_i-E[R])^{2} é o quadrado desse desvio (medida de “distância ao quadrado”), e multiplicamos por p_i para ponderar pelo evento ocorrer. A unidade da variância será \%\!^{2}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula substituindo E[R]=8 e cada r_i:
Calculemos os desvios e seus quadrados:
10-8 = 2\quad\Rightarrow\quad (10-8)^{2}=4,
8-8 = 0\quad\Rightarrow\quad (8-8)^{2}=0,
5-8 = -3\quad\Rightarrow\quad (5-8)^{2}=9.
Agora ponderamos pelos p_i:
0{,}30\cdot 4 = 1{,}2,
0{,}50\cdot 0 = 0{,}0,
0{,}20\cdot 9 = 1{,}8.
Somando:
\operatorname{Var}(R) = 1{,}2 + 0{,}0 + 1{,}8 = 3{,}0.
Portanto \operatorname{Var}(R)=3{,}0\\ \%\!^{2}.

Passo 6

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Calculamos:
\operatorname{SD}(R)=\sqrt{\operatorname{Var}(R)}=\sqrt{3{,}0}=\sqrt{3}.
Aproximando numericamente \sqrt{3}\approx 1{,}732. Como a variância estava em \%\!^{2}, o desvio-padrão fica em \%:
\operatorname{SD}(R)\approx 1{,}732\%.
Interpretação curta: em média a taxa real esperada é \,8\% e o risco (variação típica) em torno dessa média é cerca de 1{,}732\%.

Passo 7

Verificação rápida (método alternativo que você pode usar na prova): calcular E[R^{2}] e usar \operatorname{Var}(R)=E[R^{2}]-\big(E[R]\big)^{2}.
Calcule E[R^{2}]:
E[R^{2}]=0{,}30\cdot 10^{2} + 0{,}50\cdot 8^{2} + 0{,}20\cdot 5^{2}
=0{,}30\cdot 100 + 0{,}50\cdot 64 + 0{,}20\cdot 25
=30{,}0 + 32{,}0 + 5{,}0 = 67{,}0.
Agora
\operatorname{Var}(R)=E[R^{2}]-\big(E[R]\big)^{2}=67{,}0 - 8{,}0^{2}=67{,}0 - 64{,}0 = 3{,}0,
o que confirma o cálculo anterior. Bom trabalho — você já tem duas maneiras de checar na prova!

Resposta

E[R]=8\%
\operatorname{Var}(R)=3{,}0\\ \%\!^{2}
\operatorname{SD}(R)=\sqrt{3}\% \approx 1{,}732\%

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