Um investidor espera conseguir, com uma determinada aplicação no mercado financeiro, as seguintes taxas reais de juros em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”.
Cenário
Taxa Real de Juros
Distribuição de
Probabilidades do
Cenário
Bom
+10
0,30
Médio
+8
0,50
Ruim
+5
0,20
| Cenário |
|
|
|||||
| Bom | +10 | 0,30 | |||||
| Médio | +8 | 0,50 | |||||
| Ruim | +5 | 0,20 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de probabilidades para a taxa real de juros em três cenários. As informações relevantes são:
As perguntas que vamos responder (inferidas como típicas para esse exercício) são:
- Calcular a taxa real esperada (valor esperado) da aplicação.
- Calcular a medida de risco: a variância da taxa.
- Calcular o desvio-padrão (a raiz da variância) como medida de risco na mesma unidade da taxa.
Passo 2
Definimos a variável aleatória
Agora a fórmula do valor esperado (média) para uma variável discreta é:
onde
é o valor da variável nesse resultado. Aqui
será expresso em
.
Explicando cada símbolo da fórmula:
é a média ponderada das taxas;
são os pesos (probabilidades) que somam
;
são os valores (10, 8, 5).]
Passo 3
Calculamos o valor esperado usando a fórmula:
Agora fazemos as multiplicações passo a passo:
Somando:
Portanto a taxa real esperada é
.
Passo 4
Agora vamos calcular a variância. A definição usual da variância para variável discreta é:
Aqui
é o desvio de cada resultado em relação à média,
é o quadrado desse desvio (medida de “distância ao quadrado”), e multiplicamos por
para ponderar pelo evento ocorrer. A unidade da variância será
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula substituindo
e cada
:
Calculemos os desvios e seus quadrados:
Agora ponderamos pelos
:
Somando:
Portanto
Passo 6
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Calculamos:
Aproximando numericamente
. Como a variância estava em
, o desvio-padrão fica em
:
Interpretação curta: em média a taxa real esperada é
e o risco (variação típica) em torno dessa média é cerca de
.
Passo 7
Verificação rápida (método alternativo que você pode usar na prova): calcular
e usar
.
Calcule
:
Agora
o que confirma o cálculo anterior. Bom trabalho — você já tem duas maneiras de checar na prova!