Questão 6 Complete: A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos…
A … avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.
B … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C … são baseadas em interpolação linear.
D … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E … apresentam o mesmo erro na aproximação de \int_{0}^{1} x^{2} d x.

Passo 1

O enunciado pede que eu complete a frase: “A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos…” escolhendo a alternativa correta entre A, B, C, D e E. As alternativas são:
A) … avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.
B) … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C) … são baseadas em interpolação linear.
D) … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E) … apresentam o mesmo erro na aproximação de \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Vou usar as informações usuais sobre as duas regras (fórmulas, nós e precisão) para verificar cada alternativa.

Passo 2

Primeiro, a regra do trapézio (com dois pontos, nos extremos do intervalo [a,b]). A fórmula é
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
Aqui os pontos (abscissas) onde avaliamos a função são x=a e x=b (os extremos). A regra do trapézio é obtida integrando o polinômio interpolador de grau 1 que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) — por isso ela é uma quadratura interpolatória de Newton–Cotes de ordem 1. Um ponto didático: “baseada em interpolação linear” significa exatamente que aproximamos f por uma reta que une os dois extremos e integramos essa reta.

Passo 3

Agora, a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos, normalmente apresentada no intervalo canônico [-1,1]. Ela usa dois nós
x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad x_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}},
com pesos iguais a w_{1}=w_{2}=1, e a fórmula (no intervalo [-1,1]) é
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Propriedade crucial da quadratura de Gauss com n pontos: ela tem grau de exatidão 2n-1. Para n=2, isso significa que a regra é exata para polinômios de grau até 3 (inclusive). Em particular, integra exatamente x^{2} (grau 2). Observe também que os nós \pm 1/\sqrt{3} são simétricos em relação à origem.

Passo 4

Agora vamos analisar cada alternativa com base no que já explicamos.
  • Alternativa A: “avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.”
    • Para a Gauss-Legendre de dois pontos, os nós em [-1,1] são \pm 1/\sqrt{3}, claramente simétricos em torno de 0.
    • Para a regra do trapézio, se estivermos considerando a forma canônica com nós em [-1,1] (ou qualquer intervalo centrado em zero), os nós são -1 e 1, também simétricos. Em muitos enunciados comparativos de quadraturas os autores consideram as fórmulas no intervalo padrão [-1,1]. Portanto, sob essa leitura padrão, ambas avaliam f em abscissas simétricas. Logo A pode ser considerada verdadeira (com a interpretação padrão em [-1,1]).
  • Alternativa B: “têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.”
    • A regra do trapézio é exata para polinômios até grau 1 (ou seja, integra perfeitamente uma reta).
    • A Gauss-Legendre com dois pontos é exata até grau 3. Logo as exatidões não são as mesmas. B é falsa.
  • Alternativa C: “são baseadas em interpolação linear.”
    • A regra do trapézio: sim, é obtida por interpolação linear.
    • Gauss-Legendre com dois pontos: não — ela não é obtida simplesmente interpolando por uma reta nos nós e integrando essa reta; os nós são escolhidos para maximizar o grau de precisão (baseados em polinômios ortogonais), e a regra é exata para polinômios de grau até 3. Portanto C é falsa.
  • Alternativa D: “têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.”
    • Na regra do trapézio os pesos são imediatos (na forma \frac{b-a}{2} multiplicando cada extremidade, ou, no intervalo [-1,1], pesos \frac{1}{2} e \frac{1}{2} depois de escala). Não é preciso resolver um sistema não linear.
    • Na Gauss a determinação dos nós envolve raízes de polinômios de Legendre (procedimento não linear), e os pesos podem ser obtidos por fórmulas fechadas após conhecer os nós — mas dizer que “os pesos [de ambas] são obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares” é enganador e incorreto quando aplicado à regra do trapézio. Portanto D é falsa.
  • Alternativa E: “apresentam o mesmo erro na aproximação de \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.”
    • Calculemos a integral exata: \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
    • Regra do trapézio em [0,1]: T=\frac{1-0}{2}\bigl(f(0)+f(1)\bigr)=\frac{1}{2}(0+1)=\frac{1}{2}.O erro é \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
    • Gauss-Legendre com dois pontos é exata para polinômios de grau até 3, portanto integrará x^{2} exatamente em qualquer intervalo (após o mapeamento adequado), e o erro será 0.
    • Os erros são diferentes ( \frac{1}{6} para o trapézio em [0,1] e 0 para Gauss-2), logo E é falsa.

Passo 5

Resumo e decisão final: das alternativas, apenas A é verdadeira sob a interpretação padrão das fórmulas no intervalo canônico [-1,1]: tanto a regra do trapézio (nós -1,1) quanto a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos (nós \pm 1/\sqrt{3}) avaliam a função em abscissas simétricas em relação à origem. As demais alternativas são falsas pelos motivos expostos.

Resposta

A

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