Questão 6 Complete: A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos…
A … avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.
B … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C … são baseadas em interpolação linear.
D … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E … apresentam o mesmo erro na aproximação de
.
A … avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.
B … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C … são baseadas em interpolação linear.
D … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E … apresentam o mesmo erro na aproximação de
Passo 1
O enunciado pede que eu complete a frase: “A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos…” escolhendo a alternativa correta entre A, B, C, D e E. As alternativas são:
A) … avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.
B) … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C) … são baseadas em interpolação linear.
D) … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E) … apresentam o mesmo erro na aproximação de .
B) … têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
C) … são baseadas em interpolação linear.
D) … têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.
E) … apresentam o mesmo erro na aproximação de
Vou usar as informações usuais sobre as duas regras (fórmulas, nós e precisão) para verificar cada alternativa.
Passo 2
Primeiro, a regra do trapézio (com dois pontos, nos extremos do intervalo
). A fórmula é
Aqui os pontos (abscissas) onde avaliamos a função são
e
(os extremos). A regra do trapézio é obtida integrando o polinômio interpolador de grau 1 que passa por
e
— por isso ela é uma quadratura interpolatória de Newton–Cotes de ordem 1. Um ponto didático: “baseada em interpolação linear” significa exatamente que aproximamos
por uma reta que une os dois extremos e integramos essa reta.
Passo 3
Agora, a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos, normalmente apresentada no intervalo canônico
. Ela usa dois nós
com pesos iguais a
, e a fórmula (no intervalo
) é
Propriedade crucial da quadratura de Gauss com
pontos: ela tem grau de exatidão
. Para
, isso significa que a regra é exata para polinômios de grau até
(inclusive). Em particular, integra exatamente
(grau
). Observe também que os nós
são simétricos em relação à origem.
Passo 4
Agora vamos analisar cada alternativa com base no que já explicamos.
-
Alternativa A: “avaliam a função a ser integrada em abscissas simétricas em relação à origem.”
- Para a Gauss-Legendre de dois pontos, os nós em
são , claramente simétricos em torno de . - Para a regra do trapézio, se estivermos considerando a forma canônica com nós em
(ou qualquer intervalo centrado em zero), os nós são e , também simétricos. Em muitos enunciados comparativos de quadraturas os autores consideram as fórmulas no intervalo padrão . Portanto, sob essa leitura padrão, ambas avaliam em abscissas simétricas. Logo A pode ser considerada verdadeira (com a interpretação padrão em ).
- Para a Gauss-Legendre de dois pontos, os nós em
-
Alternativa B: “têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.”
- A regra do trapézio é exata para polinômios até grau
(ou seja, integra perfeitamente uma reta). - A Gauss-Legendre com dois pontos é exata até grau
. Logo as exatidões não são as mesmas. B é falsa.
- A regra do trapézio é exata para polinômios até grau
-
Alternativa C: “são baseadas em interpolação linear.”
- A regra do trapézio: sim, é obtida por interpolação linear.
- Gauss-Legendre com dois pontos: não — ela não é obtida simplesmente interpolando por uma reta nos nós e integrando essa reta; os nós são escolhidos para maximizar o grau de precisão (baseados em polinômios ortogonais), e a regra é exata para polinômios de grau até
. Portanto C é falsa.
-
Alternativa D: “têm os pesos obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares.”
- Na regra do trapézio os pesos são imediatos (na forma
multiplicando cada extremidade, ou, no intervalo , pesos e depois de escala). Não é preciso resolver um sistema não linear. - Na Gauss a determinação dos nós envolve raízes de polinômios de Legendre (procedimento não linear), e os pesos podem ser obtidos por fórmulas fechadas após conhecer os nós — mas dizer que “os pesos [de ambas] são obtidos pela solução de um sistema de equações não lineares” é enganador e incorreto quando aplicado à regra do trapézio. Portanto D é falsa.
- Na regra do trapézio os pesos são imediatos (na forma
-
Alternativa E: “apresentam o mesmo erro na aproximação de
.” - Calculemos a integral exata:
- Regra do trapézio em
: O erro é . - Gauss-Legendre com dois pontos é exata para polinômios de grau até
, portanto integrará exatamente em qualquer intervalo (após o mapeamento adequado), e o erro será . - Os erros são diferentes (
para o trapézio em e para Gauss-2), logo E é falsa.
- Calculemos a integral exata:
Passo 5
Resumo e decisão final: das alternativas, apenas A é verdadeira sob a interpretação padrão das fórmulas no intervalo canônico
: tanto a regra do trapézio (nós
) quanto a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos (nós
) avaliam a função em abscissas simétricas em relação à origem. As demais alternativas são falsas pelos motivos expostos.
Resposta
A