Questão 4 Qual a cota máxima do erro da integração de Gauss-Legendre com dois pontos cometidò no cálculo de
?
A 6,8713
(B) 8,5714
(C) 5,1712
(D) 1,7709
(E) 3,4711
A 6,8713
(B) 8,5714
(C) 5,1712
(D) 1,7709
(E) 3,4711
Passo 1
O enunciado pede a cota máxima do erro da fórmula de Gauss–Legendre com dois pontos (ou seja, ordem
) ao aproximar a integral
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é
. - A regra usada é a de Gauss–Legendre com dois pontos; precisamos da cota (ou limite superior) do erro cometido por essa aproximação.
- Não foi pedido o valor aproximado da integral, apenas a cota máxima do erro.
Passo 2
Vamos apresentar a fórmula de erro para a regra de Gauss–Legendre com
pontos no intervalo
e especializar para
. Para
pontos, o termo do erro (para funções suficientemente suaves) tem a forma
para algum
, onde
é uma constante que depende só de
. Uma forma conhecida dessa constante é
Agora tomamos
. Calculamos
:
Substituindo:
Portanto, para a regra de Gauss–Legendre com dois pontos no intervalo
temos
Passo 3
Nosso intervalo é
, não
. Vamos ver como o erro se transforma ao mapear
em
. Use a mudança linear
com
,
. Então
onde
. Aplicando a fórmula de erro no intervalo
para
, obtemos
para algum
. Voltando para
, como
, e multiplicando pelo fator
que aparece na mudança de variável, o erro na integral original é
Como
, obtemos a fórmula prática para nosso caso:
Passo 4
Agora calculamos
para
. Vamos derivar passo a passo:
Portanto
.
Passo 5
Precisamos de uma cota superior para
em
. Observe que em
temos
. Assim
e como todos os valores são positivos,
. Logo uma cota máxima conveniente é
Passo 6
Aplicamos a fórmula do passo 3 com
e a cota
:
Agora calculamos numericamente (vou arredondar razoavelmente para obter a cota):
Multiplicando:
Dividindo por
:
Arredondando à precisão das alternativas, isto corresponde à aproximadamente
(a pequena diferença vem de arredondamentos intermediários); a alternativa mais próxima é a indicada em (D).
Passo 7
Resumo final: a cota máxima do erro dada pela estimativa é
portanto a alternativa correta é a que apresenta
.
Resposta
(D)