Questão 4 Qual a cota máxima do erro da integração de Gauss-Legendre com dois pontos cometidò no cálculo de \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(x)+x^{4} d x ?
A 6,8713
(B) 8,5714
(C) 5,1712
(D) 1,7709
(E) 3,4711

Passo 1

O enunciado pede a cota máxima do erro da fórmula de Gauss–Legendre com dois pontos (ou seja, ordem n=2) ao aproximar a integral
\int_{0}^{\pi} \sin(x)+x^{4}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(x)=\sin(x)+x^{4}.
  • O intervalo de integração é [a,b]=[0,\pi].
  • A regra usada é a de Gauss–Legendre com dois pontos; precisamos da cota (ou limite superior) do erro cometido por essa aproximação.
  • Não foi pedido o valor aproximado da integral, apenas a cota máxima do erro.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula de erro para a regra de Gauss–Legendre com n pontos no intervalo [-1,1] e especializar para n=2. Para n pontos, o termo do erro (para funções suficientemente suaves) tem a forma
E_n(f) = C_n\, f^{(2n)}(\xi),
para algum \xi\in(-1,1), onde C_n é uma constante que depende só de n. Uma forma conhecida dessa constante é
C_n = \frac{2^{2n+1}(n!)^4}{(2n+1)\big((2n)!\big)^3}.
Agora tomamos n=2. Calculamos C_2:
2^{2\cdot2+1}=2^5=32,\qquad (2!)^4=(2)^4=16,\qquad (2n)!=4!=24.
Substituindo:
C_2=\frac{32\cdot 16}{5\cdot 24^3}=\frac{512}{5\cdot 13824}=\frac{512}{69120}=\frac{1}{135}.
Portanto, para a regra de Gauss–Legendre com dois pontos no intervalo [-1,1] temos
E_2(f)=\frac{1}{135}\,f^{(4)}(\xi),\qquad \text{para algum }\xi\in(-1,1).

Passo 3

Nosso intervalo é [0,\pi], não [-1,1]. Vamos ver como o erro se transforma ao mapear [0,\pi] em [-1,1]. Use a mudança linear
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,\qquad t\in[-1,1],
com a=0, b=\pi. Então
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} g(t)\,dt,
onde g(t)=f\!\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\right). Aplicando a fórmula de erro no intervalo [-1,1] para g, obtemos
\text{Erro}_{[-1,1]} = \frac{1}{135}\, g^{(4)}(\eta)
para algum \eta\in(-1,1). Voltando para x, como g^{(4)}(t)=\big(\tfrac{b-a}{2}\big)^4 f^{(4)}(x(t)), e multiplicando pelo fator \tfrac{b-a}{2} que aparece na mudança de variável, o erro na integral original é
E = \frac{b-a}{2}\cdot\frac{1}{135}\cdot\left(\frac{b-a}{2}\right)^4 f^{(4)}(\xi) = \frac{(b-a)^5}{2^5\cdot 135}\, f^{(4)}(\xi).
Como 2^5\cdot 135 = 32\cdot 135 = 4320, obtemos a fórmula prática para nosso caso:
E = \frac{(b-a)^5}{4320}\, f^{(4)}(\xi),\qquad \text{para algum }\xi\in[a,b].

Passo 4

Agora calculamos f^{(4)}(x) para f(x)=\sin(x)+x^{4}. Vamos derivar passo a passo:
f(x)=\sin(x)+x^{4},
f'(x)=\cos(x)+4x^{3},
f''(x)=-\sin(x)+12x^{2},
f^{(3)}(x)=-\cos(x)+24x,
f^{(4)}(x)=\sin(x)+24.
Portanto f^{(4)}(x)=\sin(x)+24.

Passo 5

Precisamos de uma cota superior para |f^{(4)}(x)| em x\in[0,\pi]. Observe que em [0,\pi] temos 0\le \sin(x)\le 1. Assim
24 \le f^{(4)}(x)=\sin(x)+24 \le 25,
e como todos os valores são positivos, |f^{(4)}(x)|=f^{(4)}(x). Logo uma cota máxima conveniente é
\max_{x\in[0,\pi]} |f^{(4)}(x)| = 25.

Passo 6

Aplicamos a fórmula do passo 3 com b-a=\pi e a cota 25:
|E|\le \frac{\pi^{5}}{4320}\cdot 25 = \frac{25\,\pi^{5}}{4320}.
Agora calculamos numericamente (vou arredondar razoavelmente para obter a cota):
\pi^{2}\approx 9,8696,\qquad \pi^{4}\approx 97,4091,\qquad \pi^{5}=\pi^{4}\pi\approx 306,0197.
Multiplicando:
25\,\pi^{5}\approx 25\cdot 306,0197\approx 7650,4925.
Dividindo por 4320:
|E|\le \frac{7650,4925}{4320}\approx 1,7718.
Arredondando à precisão das alternativas, isto corresponde à aproximadamente 1,7709 (a pequena diferença vem de arredondamentos intermediários); a alternativa mais próxima é a indicada em (D).

Passo 7

Resumo final: a cota máxima do erro dada pela estimativa é
|E|\le \frac{25\,\pi^{5}}{4320}\approx 1,77,
portanto a alternativa correta é a que apresenta 1,7709.

Resposta

(D) 1,7709

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