Questão 5 Sobre os métodos de integração numérica, é falso afirmar que:
A A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta. .
(B) A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.
C Sejam três pontos com abscissas
e
e dois polinômios, um quadrático e outro cúbico, que passam por esses pontos. A soma das áreas entre os dois polinômios no intervalo
é nula.
D A quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos
, sendo
baseado nos zeros do polinômio cúbico de Legendre.
A A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta. .
(B) A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.
D A quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das afirmações sobre métodos de integração numérica é falsa. As alternativas são:
A A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
B A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.
C Sejam três pontos com abscissas
e
e dois polinômios, um quadrático e outro cúbico, que passam por esses pontos. A soma das áreas entre os dois polinômios no intervalo
é nula.
D A quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos
, sendo
baseado nos zeros do polinômio cúbico de Legendre.
Vamos analisar cada afirmação para decidir qual é falsa.
Passo 2
Analisando a alternativa A detalhadamente.
Primeiro, vou explicar o que significa “exatidão” (grau de precisão) de uma fórmula de quadratura: uma fórmula de quadratura tem grau de precisão
se ela integra exatamente todos os polinômios de grau menor ou igual a
, isto é, para todo polinômio
com
,
onde
são os nós e
os pesos da fórmula.
Agora, propriedades conhecidas (essas são fórmulas-padrão que você deve decorar um pouco para a prova):
- A regra do trapézio simples (um único intervalo
) tem grau de precisão : ela integra exatamente todos os polinômios de grau (ou seja, constantes e funções lineares). - A quadratura de Gauss-Legendre com
pontos tem grau de precisão . Logo, para a quadratura de Gauss-Legendre tem grau de precisão , isto é, integra polinômios até grau exatamente.
Portanto, a frase “têm a mesma exatidão” é, em princípio, falsa: a regra do trapézio (grau
) não tem a mesma exatidão que a Gauss-Legendre com dois pontos (grau
). Também a justificativa “porque calculam a área sob uma reta” é imprecisa: a GL com dois pontos é capaz de integrar retas, quadráticas e cúbicas exatamente — mais do que “uma reta” — então a justificativa está errada.
Para fixar com um exemplo numérico simples (sem usar transformação de intervalo complicada): considere a propriedade teórica acima; também dá para ver que a regra do trapézio falha já para polinômio quadrático, por exemplo
em
:
- Integral exata:
- Regra do trapézio:
, que não é .
Já uma quadratura de Gauss compontos é exata para (pois é exata até grau ).
Conclusão provisória: A afirmação A parece falsa.
Passo 3
Analisando a alternativa B.
A afirmação B diz que “A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.” Isso não afirma que sempre calcula exatamente, apenas que pode — ou seja, existe casos em que é exata. Vamos mostrar que isso é verdadeiro: se a função
for afim, isto é,
com
constantes, então a regra do trapézio é exata.
Prova direta simples: para
,
A regra do trapézio simples dá
Desenvolvendo
e
, obtemos exatamente a integral. Logo, para funções lineares a regra do trapézio calcula a integral exatamente. Portanto a afirmação B é verdadeira.
Passo 4
Analisando a alternativa C.
Temos três abscissas
e
. Existe um polinômio quadrático
que passa por esses três pontos
e existe um polinômio cúbico
também passando por esses três pontos. Consideremos a função diferença
Observações importantes:
-
é um polinômio de grau no máximo . - Pelas hipóteses,
, ou seja, tem três raízes distintas .
Logo, necessariamente
é da forma
para algum
.
Agora fazemos a mudança de variável centrada no ponto médio
: defina
. Então as raízes ficam em
, onde
. Em termos de
,
Note que
é uma função ímpar em relação a
(pois contém um fator
multiplicando um polinômio par
). Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico em
, isto é, de
até
, obtemos zero:
Voltando à variável
, isso é exatamente
Mas
, então a soma (na verdade a integral) das áreas entre os dois polinômios no intervalo
é
Logo a afirmação C é verdadeira.
(Moral: a diferença tem simetria ímpar em torno do ponto médio, e as áreas positivas e negativas se cancelam.)
Passo 5
Analisando a alternativa D.
A alternativa diz que a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos “consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos
,
”, sendo os nós
os zeros do polinômio de Legendre de grau
.
Vou explicar dois fatos-chave que justificam que D é uma afirmação correta (ou, pelo menos, válida):
- Fórmulas de quadratura interpolatórias: dadas
abscissas , existe uma fórmula interpolatória com pesos
onde
são os polinômios de Lagrange de grau
associados às abscissas. Para essa fórmula vale, para qualquer função
,
onde
é o polinômio interpolador de grau
que coincide com
em
. Ou seja: a soma dos pesos vezes
é exatamente a integral do polinômio interpolador quadrático (quando
).
- Gauss-Legendre escolhe os nós de forma especial (os zeros do polinômio de Legendre de grau
) para maximizar o grau de precisão: com nós escolhidos assim, a fórmula ficará exata para polinômios até grau . Mas mesmo assim, a própria fórmula pode ser vista como a integral do polinômio interpolador de grau nas abscissas escolhidas: por construção dos pesos como integrais das bases de Lagrange, a expressão da quadratura é a integral do interpolador quadrático associado aos nós .
Portanto, afirmar que “a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos
” é uma descrição correta — desde que se entenda que os pesos são exatamente as integrais dos polinômios de Lagrange de grau
e que, adicionalmente, os nós
são escolhidos como zeros de
(o polinômio de Legendre de grau
). Essa escolha dos nós é o que dá à fórmula Gaussiana sua alta exatidão (até grau
no caso
), mas a interpretação como “integrar o polinômio interpolador quadrático” é válida e frequentemente usada como visão prática da fórmula.
Logo, a alternativa D está corretamente formulada.
Passo 6
Resumo das verificações:
- A: afirmativa incorreta (trapezoide tem grau
, Gauss-Legendre com pontos tem grau ); logo A é falsa. - B: verdadeira (regra do trapézio é exata para funções lineares).
- C: verdadeira (diferença polinomial tem simetria ímpar em torno do ponto médio e integral nula).
- D: verdadeira (Gauss-Legendre com
nós usa nós nos zeros de e a quadratura é a integral do polinômio interpolador quadrático nos nós).
Já que a questão pede qual é a afirmação falsa, a resposta é a alternativa A.
Resposta
A