Questão 5 Sobre os métodos de integração numérica, é falso afirmar que:
A A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta. .
(B) A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.
C Sejam três pontos com abscissas a, \frac{a+b}{2} e b e dois polinômios, um quadrático e outro cúbico, que passam por esses pontos. A soma das áreas entre os dois polinômios no intervalo [a ; b] é nula.
D A quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos \left(x_{i} ; f\left(x_{i}\right)\right), i \in\{1 ; 2 ; 3\}, sendo x_{i} baseado nos zeros do polinômio cúbico de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das afirmações sobre métodos de integração numérica é falsa. As alternativas são:
A A regra do trapézio e a quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos têm a mesma exatidão porque calculam a área sob uma reta.
B A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.
C Sejam três pontos com abscissas \,a,\;\frac{a+b}{2} e \,b e dois polinômios, um quadrático e outro cúbico, que passam por esses pontos. A soma das áreas entre os dois polinômios no intervalo [a;b] é nula.
D A quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos \left(x_{i},\,f\left(x_{i}\right)\right),\;i\in\{1,2,3\}, sendo x_{i} baseado nos zeros do polinômio cúbico de Legendre.
Vamos analisar cada afirmação para decidir qual é falsa.

Passo 2

Analisando a alternativa A detalhadamente.
Primeiro, vou explicar o que significa “exatidão” (grau de precisão) de uma fórmula de quadratura: uma fórmula de quadratura tem grau de precisão m se ela integra exatamente todos os polinômios de grau menor ou igual a m, isto é, para todo polinômio p(x) com \deg p \le m,
\int_{a}^{b} p(x)\,dx \;=\; \sum_{i} w_{i}\,p(x_{i}),
onde x_{i} são os nós e w_{i} os pesos da fórmula.
Agora, propriedades conhecidas (essas são fórmulas-padrão que você deve decorar um pouco para a prova):
  • A regra do trapézio simples (um único intervalo [a,b]) tem grau de precisão 1: ela integra exatamente todos os polinômios de grau \le 1 (ou seja, constantes e funções lineares).
  • A quadratura de Gauss-Legendre com n pontos tem grau de precisão 2n-1. Logo, para n=2 a quadratura de Gauss-Legendre tem grau de precisão 2\cdot 2-1=3, isto é, integra polinômios até grau 3 exatamente.
Portanto, a frase “têm a mesma exatidão” é, em princípio, falsa: a regra do trapézio (grau 1) não tem a mesma exatidão que a Gauss-Legendre com dois pontos (grau 3). Também a justificativa “porque calculam a área sob uma reta” é imprecisa: a GL com dois pontos é capaz de integrar retas, quadráticas e cúbicas exatamente — mais do que “uma reta” — então a justificativa está errada.
Para fixar com um exemplo numérico simples (sem usar transformação de intervalo complicada): considere a propriedade teórica acima; também dá para ver que a regra do trapézio falha já para polinômio quadrático, por exemplo f(x)=x^{2} em [0,1]:
  • Integral exata: \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.
  • Regra do trapézio: \displaystyle \frac{1-0}{2}\big(f(0)+f(1)\big)=\frac{1}{2}(0+1)=\frac{1}{2}, que não é \frac{1}{3}.
    Já uma quadratura de Gauss com 2 pontos é exata para x^{2} (pois é exata até grau 3).
Conclusão provisória: A afirmação A parece falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa B.
A afirmação B diz que “A regra do trapézio pode calcular uma integral exatamente.” Isso não afirma que sempre calcula exatamente, apenas que pode — ou seja, existe casos em que é exata. Vamos mostrar que isso é verdadeiro: se a função f for afim, isto é, f(x)=mx+c com m,c constantes, então a regra do trapézio é exata.
Prova direta simples: para f(x)=mx+c,
\int_{a}^{b} (mx+c)\,dx = m\frac{(b^{2}-a^{2})}{2} + c(b-a).
A regra do trapézio simples dá
\frac{b-a}{2}\big(f(a)+f(b)\big) = \frac{b-a}{2}\big(ma+c + mb+c\big) = \frac{b-a}{2}\big(m(a+b)+2c\big).
Desenvolvendo \frac{b-a}{2}\cdot m(a+b)= m\frac{b^{2}-a^{2}}{2} e \frac{b-a}{2}\cdot 2c = c(b-a), obtemos exatamente a integral. Logo, para funções lineares a regra do trapézio calcula a integral exatamente. Portanto a afirmação B é verdadeira.

Passo 4

Analisando a alternativa C.
Temos três abscissas \,a,\;m=\frac{a+b}{2} e b. Existe um polinômio quadrático q(x) que passa por esses três pontos (a,f(a)),(m,f(m)),(b,f(b)) e existe um polinômio cúbico r(x) também passando por esses três pontos. Consideremos a função diferença
d(x)=r(x)-q(x).
Observações importantes:
  • d(x) é um polinômio de grau no máximo 3.
  • Pelas hipóteses, d(a)=d(m)=d(b)=0, ou seja, d tem três raízes distintas a,m,b.
Logo, necessariamente d(x) é da forma
d(x)=k\,(x-a)\big(x-m\big)(x-b),
para algum k\in\mathbb{R}.
Agora fazemos a mudança de variável centrada no ponto médio m: defina u=x-m. Então as raízes ficam em u=-h,0,+h, onde h=\frac{b-a}{2}. Em termos de u,
d(x)=k\,(u+h)\,u\,(u-h)=k\,u\,(u^{2}-h^{2}).
Note que u\mapsto k\,u\,(u^{2}-h^{2}) é uma função ímpar em relação a u (pois contém um fator u multiplicando um polinômio par (u^{2}-h^{2})). Integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico em u, isto é, de -h até h, obtemos zero:
\int_{-h}^{h} k\,u\,(u^{2}-h^{2})\,du = 0.
Voltando à variável x, isso é exatamente
\int_{a}^{b} d(x)\,dx = 0.
Mas d(x)=r(x)-q(x), então a soma (na verdade a integral) das áreas entre os dois polinômios no intervalo [a,b] é
\int_{a}^{b} \big(r(x)-q(x)\big)\,dx = 0.
Logo a afirmação C é verdadeira.
(Moral: a diferença tem simetria ímpar em torno do ponto médio, e as áreas positivas e negativas se cancelam.)

Passo 5

Analisando a alternativa D.
A alternativa diz que a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos “consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos \left(x_{i},f(x_{i})\right), i\in\{1,2,3\}”, sendo os nós x_{i} os zeros do polinômio de Legendre de grau 3.
Vou explicar dois fatos-chave que justificam que D é uma afirmação correta (ou, pelo menos, válida):
  1. Fórmulas de quadratura interpolatórias: dadas n abscissas \{x_{i}\}_{i=1}^{n}, existe uma fórmula interpolatória com pesos
w_{i} = \int_{a}^{b} \ell_{i}(x)\,dx,
onde \ell_{i}(x) são os polinômios de Lagrange de grau n-1 associados às abscissas. Para essa fórmula vale, para qualquer função f,
\sum_{i=1}^{n} w_{i}\,f(x_{i}) \;=\; \int_{a}^{b} p(x)\,dx,
onde p(x) é o polinômio interpolador de grau \le n-1 que coincide com f em x_{i}. Ou seja: a soma dos pesos vezes f(x_{i}) é exatamente a integral do polinômio interpolador quadrático (quando n=3).
  1. Gauss-Legendre escolhe os nós de forma especial (os zeros do polinômio de Legendre de grau n) para maximizar o grau de precisão: com n=3 nós escolhidos assim, a fórmula ficará exata para polinômios até grau 2n-1 = 5. Mas mesmo assim, a própria fórmula pode ser vista como a integral do polinômio interpolador de grau 2 nas abscissas escolhidas: por construção dos pesos como integrais das bases de Lagrange, a expressão da quadratura é a integral do interpolador quadrático associado aos nós \{x_{i}\}_{i=1}^{3}.
Portanto, afirmar que “a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos consiste em integrar o polinômio quadrático que passa pelos pontos \left(x_{i},f(x_{i})\right)” é uma descrição correta — desde que se entenda que os pesos são exatamente as integrais dos polinômios de Lagrange de grau 2 e que, adicionalmente, os nós x_{i} são escolhidos como zeros de P_{3} (o polinômio de Legendre de grau 3). Essa escolha dos nós é o que dá à fórmula Gaussiana sua alta exatidão (até grau 5 no caso n=3), mas a interpretação como “integrar o polinômio interpolador quadrático” é válida e frequentemente usada como visão prática da fórmula.
Logo, a alternativa D está corretamente formulada.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • A: afirmativa incorreta (trapezoide tem grau 1, Gauss-Legendre com 2 pontos tem grau 3); logo A é falsa.
  • B: verdadeira (regra do trapézio é exata para funções lineares).
  • C: verdadeira (diferença polinomial tem simetria ímpar em torno do ponto médio e integral nula).
  • D: verdadeira (Gauss-Legendre com 3 nós usa nós nos zeros de P_{3} e a quadratura é a integral do polinômio interpolador quadrático nos nós).
Já que a questão pede qual é a afirmação falsa, a resposta é a alternativa A.

Resposta

A

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