Explique a representação fasorial de uma grandeza senoidal.
a) Como um sinal x(t)=X \sqrt{2} \cdot \cos (\omega t+\varphi) é convertido em fasor?
b) Por que a análise fasorial simplifica a resolução de circuitos CA?
Passo 1
O enunciado pede para entender como representamos uma grandeza senoidal em regime permanente através de fasores e por que isso facilita a análise de circuitos em corrente alternada (CA). O conteúdo envolve os conceitos de valor eficaz (RMS), forma fasorial (número complexo) e o uso de impedâncias que transformam equações diferenciais em equações algébricas.
Passo 2
Para converter o sinal
x(t)=X\sqrt{2}\,\cos(\omega t+\varphi)
em fasor, seguimos estes passos:
Escrevemos a forma de Euler:
x(t)=\Re\{X\sqrt{2}\,e^{j(\omega t+\varphi)}\}.
Observamos que podemos agrupar e^{j\omega t} e definir
\underline{X}=X\,e^{j\varphi}=X\angle\varphi,
onde X é o valor eficaz (RMS) e \varphi é o ângulo de fase.
3. Assim, em vez de lidar com x(t) no tempo, usamos o fasor \underline{X}, que representa completamente amplitude e fase.
Passo 3
A análise fasorial simplifica a resolução de circuitos CA porque, em vez de resolver equações diferenciais no tempo, passamos a trabalhar com números complexos e impedâncias fixas:
A derivada no tempo vira multiplicação por j\omega.
A integral no tempo vira divisão por j\omega.
Resistores, indutores e capacitores ficam representados pelas impedâncias \,Z_R=R\,,\;Z_L=j\omega L\,,\;Z_C=\tfrac{1}{j\omega C}.
Dessa forma, usamos apenas álgebra de complexos (somas, produtos, divisões) em vez de cálculo de derivadas e integrais, o que deixa a análise muito mais direta.
Resposta
(a) A partir de
x(t)=X\sqrt{2}\cos(\omega t+\varphi),
definimos o fasor
\underline{X}=X\,e^{j\varphi}=X\angle\varphi.
(b) Porque o método fasorial transforma as equações diferenciais de regimes senoidais em simples equações algébricas com impedâncias complexas, permitindo usar apenas álgebra de números complexos para encontrar tensões e correntes em CA.