Para uma matriz complexa (isto é, todos os elementos de são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por , como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de , ou seja, para todo e ;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por , como a matriz transposta da matriz conjugada de , ou seja .
Passo 1
O enunciado define para matrizes complexas e duas operações:
Conjugação elemento a elemento, .
Conjugada transposta, .
E pede para provar que a operação “conjugada transposta” é linear em relação à soma, ou seja,
Passo 2
Mostramos primeiro que a conjugação se distribui sobre soma de matrizes. Se , então em cada posição vale
e portanto
Isso implica, elemento a elemento,
barD = A + B = barA + barB
Passo 3
Agora aplicamos transposição em ambos os lados da igualdade anterior. Usando que (X+Y)^T = X^T + Y^T, temos
(A + B)^* = (A + B)^T = (barA + barB)^T = (barA)^T + (barB)^T = A^* + B^*