Para uma matriz C=(c1 z, j) i=1, ldots, m, j=1, ldots, n complexa (isto é, todos os elementos de C são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por barC, como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de C, ou seja, barC=(barc1 i j) para todo i e j;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por C^*, como a matriz transposta da matriz conjugada de C, ou seja C^*=barC^T.
(A+B)^*=A^*+B^*

Passo 1

O enunciado define para matrizes complexas A e B duas operações:
  1. Conjugação elemento a elemento, barC.
  2. Conjugada transposta, C^* = (barC)^T.
    E pede para provar que a operação “conjugada transposta” é linear em relação à soma, ou seja,
(A + B)^* = A^* + B^*

Passo 2

Mostramos primeiro que a conjugação se distribui sobre soma de matrizes. Se D = A + B, então em cada posição (i,j) vale
dij = aij + bij
e portanto
dij = aij + bij = aij + bij
Isso implica, elemento a elemento,
barD = A + B = barA + barB

Passo 3

Agora aplicamos transposição em ambos os lados da igualdade anterior. Usando que (X+Y)^T = X^T + Y^T, temos
(A + B)^* = (A + B)^T = (barA + barB)^T = (barA)^T + (barB)^T = A^* + B^*

Resposta

(A + B)^* = A^* + B^*

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