Questão 3. Considerando agora um dimensionamento dinâmico, independente do calculado na questão anterior, use \sigma_{\text {flexao } N O M}=7,00 \cdot 10^{3} / d^{3} e \tau_{\text {torcao }_{N O M}}=2,00 \cdot 10^{3} / d^{3} e considere como ponto crítico o ponto B. Sendo o eixo de aço 1020 CD e usinado:
a) Realize o desenvolvimento da resistência do material encontrando S_{e};
b) Encontre S_{f N} como função de N;
c) Realize o desenvolvimento das tensões;
c) Calcule o valor de d utilizando o critério de Goodman Modificado usando um fator de projeto de n=1,5.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um eixo de aço AISI 1020 (cold drawn, usinado) submetido num ponto crítico B a flexão e torção dinâmicas que geram as tensões nominais
\sigma_{\text{nom}} = \frac{7{,}00\times10^3}{d^3}, \quad \tau_{\text{nom}} = \frac{2{,}00\times10^3}{d^3}
Queremos:
a) o limite de resistência à fadiga S_e;
b) a curva S_{fN}(N);
c) as expressões das tensões alternantes e médias e do equivalente de Von Mises;
d) finalmente escolher d usando o critério de Goodman modificado com n=1{,}5.

Passo 2

Propriedades do material (AISI 1020 cd usinado): \displaystyle S_{ut}=420\text{ MPa} (tensão de escoamento \approx350 MPa)
Limite de resistência à fadiga sem correções (para S_{ut}<1400 MPa)
S_e' = 0{,}5\,S_{ut} = 0{,}5\times420 =210\text{ MPa}.

Passo 3

Correções do limite de fadiga:
– fator acabamento de superfície k_a: usinado,
k_a = 4{,}51\,S_{ut}^{-0{,}265} =4{,}51\,(420)^{-0{,}265}\approx0{,}909;
– fator tamanho k_b: para eixos em flexão com diâmetro d>8 mm,
k_b(d)=1{,}189\,d^{-0{,}097};
k_c=1 (carregamento por flexão), k_d=1 (tª ambiente), k_e=0{,}897 (confiabilidade 90 %), k_f=1.
Assim o limite corrigido é
S_e(d)=S_e'\,k_a\,k_b(d)\,k_c\,k_d\,k_e\,k_f =210\times0{,}909\times1{,}189\,d^{-0{,}097}\times0{,}897 \approx203{,}3\,d^{-0{,}097}\\ \text{MPa}.

Passo 4

Para vida finita N usa-se a lei de Basquin
S_{fN}(N)=S_{ut}\,(2N)^{-b},
onde o expoente b obtém-se impondo que em N_c=10^6 ciclos vale S_{fN}=S_e:
b = \frac{\log_{10}\bigl(S_{ut}/S_e(d)\bigr)}{\log_{10}(2\cdot10^6)}.
Logo
S_{fN}(N) =420\,(2N)^{-\,\frac{\log_{10}(420/S_e(d))}{\log_{10}(2\times10^6)}}\\ \text{MPa}.

Passo 5

Tensões alternante e média no ponto B (supondo reversão completa, R=-1): \sigma_m=0, \tau_m=0, \sigma_a=\sigma_{\text{nom}}, \tau_a=\tau_{\text{nom}}.
Equivalente de Von Mises alternante e médio:
\sigma_{eq,a} =\sqrt{\sigma_a^2+3\,\tau_a^2} =\sqrt{\Bigl(\frac{7{,}00\times10^3}{d^3}\Bigr)^2 +3\Bigl(\frac{2{,}00\times10^3}{d^3}\Bigr)^2} =\frac{\sqrt{49+12}\times10^3}{d^3} =\frac{7{,}81\times10^3}{d^3}\,\text{MPa},
\sigma_{eq,m}=0.

Passo 6

Critério de Goodman modificado com coeficiente de segurança n=1{,}5:
\frac{\sigma_{eq,a}}{S_{fN}(N)}+\frac{\sigma_{eq,m}}{S_{ut}} =\frac{1}{n}.
Para vida infinita N\ge10^6, S_{fN}\to S_e fica
\frac{\sigma_{eq,a}}{S_e(d)}=\frac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{7{,}81\times10^3}{d^3\,S_e(d)}=\frac{1}{1{,}5}
d^3 =\frac{7{,}81\times10^3\times1{,}5}{S_e(d)}.
Substituindo S_e(d)\approx203{,}3\,d^{-0{,}097}, resolve-se numericamente por iteração ou, como aproximação inicial, troca-se d^{-0,097}\approx1:
d^3\approx\frac{7{,}81\times10^3\times1{,}5}{203{,}3} =68{,}6 \quad\Longrightarrow\quad d\approx\sqrt[3]{68{,}6}\approx4{,}1\text{ mm}.

Resposta

O diâmetro obtido pela aplicação do critério de Goodman modificado com n=1{,}5 é aproximadamente
\boxed{d\approx4{,}1\text{ mm}.}

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