QUESTÃO 5(2,5) : Considerando a função f(x, y, z)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} :
a) Escreva a equação da aproximação linear de f(x, y, z) no ponto P_{o}(1,1,1).
b) Utilize a proximação linear para calcular um favor aproximado de f(0,99 ; 0,99 ; 0,99).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e pede duas coisas:
  • (a) Escrever a equação da aproximação linear (linearização) de f no ponto P_{0}(1,1,1).
  • (b) Usar essa aproximação linear para calcular um valor aproximado de f(0,99;0,99;0,99).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está definida para (x,y,z) com denominador diferente de zero; no ponto P_{0} o denominador é 1^{2}+1^{2}+1^{2}=3, portanto f é bem definida e diferenciável em P_{0}.
  • O ponto de expansão é P_{0}=(1,1,1).
  • O ponto onde se quer aproximar é (0,99,0,99,0,99) (ou seja, x=y=z=0,99).

Passo 2

O que é a aproximação linear (tangente)? Explicação sucinta e fórmula.
  • A aproximação linear de uma função de várias variáveis em torno de um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é a equação do plano tangente a f nesse ponto. Ela fornece uma boa aproximação de f para pontos próximos a P_{0}.
  • A fórmula geral é
L(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(y-y_{0})+f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\,(z-z_{0}),
onde f_{x},f_{y},f_{z} são as derivadas parciais de f.
  • Interpretação: f(x,y,z)\approx L(x,y,z) quando (x,y,z) está perto de P_{0}. A diferença é do tipo pequeno (termos de ordem superior).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando regra do quociente. Defina o denominador
D(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Então
f(x,y,z)=\frac{x y}{D}.
Derivada parcial em relação a x: aplicar a regra do quociente \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} com u(x,y,z)=x y e v(x,y,z)=D.
  • u_{x}=y.
  • v_{x}=2x.
    Portanto
f_{x}(x,y,z)=\frac{y\cdot D-(x y)\cdot 2x}{D^{2}}=\frac{y\bigl(D-2x^{2}\bigr)}{D^{2}}.
Derivada parcial em relação a y: simetricamente,
  • u_{y}=x,
  • v_{y}=2y,
    logo
f_{y}(x,y,z)=\frac{x\cdot D-(x y)\cdot 2y}{D^{2}}=\frac{x\bigl(D-2y^{2}\bigr)}{D^{2}}.
Derivada parcial em relação a z:
  • u_{z}=0 (porque u=xy não depende de z),
  • v_{z}=2z,
    logo
f_{z}(x,y,z)=\frac{0\cdot D-(x y)\cdot 2z}{D^{2}}=-\frac{2 x y z}{D^{2}}.

Passo 4

Agora avaliamos f e as derivadas parciais no ponto P_{0}=(1,1,1).
Calcule primeiro D(1,1,1):
D(1,1,1)=1^{2}+1^{2}+1^{2}=3.
Valor da função:
f(1,1,1)=\frac{1\cdot 1}{3}=\frac{1}{3}.
Derivadas parciais no ponto:
f_{x}(1,1,1)=\frac{1\bigl(3-2\cdot1^{2}\bigr)}{3^{2}}=\frac{1\cdot(3-2)}{9}=\frac{1}{9},
f_{y}(1,1,1)=\frac{1\bigl(3-2\cdot1^{2}\bigr)}{3^{2}}=\frac{1}{9},
f_{z}(1,1,1)=-\frac{2\cdot1\cdot1\cdot1}{3^{2}}=-\frac{2}{9}.

Passo 5

Escrevendo a aproximação linear usando os valores calculados:
L(x,y,z)=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}(x-1)+\frac{1}{9}(y-1)-\frac{2}{9}(z-1).
Essa é a equação do plano tangente (a aproximação linear) de f em P_{0}(1,1,1).

Passo 6

Agora usamos L para aproximar f em (x,y,z)=(0,99,0,99,0,99). Primeiro note os incrementos
x-1=y-1=z-1=0,99-1=-0,01.
Substituindo em L:
\begin{aligned} L(0,99,0,99,0,99)&=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}(-0,01)+\frac{1}{9}(-0,01)-\frac{2}{9}(-0,01)\\[4pt] &=\frac{1}{3}+\frac{-0,01-0,01+0,02}{9}\\[4pt] &=\frac{1}{3}+\frac{0}{9}\\[4pt] &=\frac{1}{3}. \end{aligned}
Portanto a aproximação linear dá exatamente \dfrac{1}{3} para esse ponto (houve cancelamento exato dos termos lineares).]

Resposta

L(x,y,z)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}(x-1)+\dfrac{1}{9}(y-1)-\dfrac{2}{9}(z-1)
f(0,99;0,99;0,99)\approx\dfrac{1}{3}

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