QUESTÃO
: Considerando a função
:
a) Escreva a equação da aproximação linear de
no ponto
.
b) Utilize a proximação linear para calcular um favor aproximado de
.
a) Escreva a equação da aproximação linear de
b) Utilize a proximação linear para calcular um favor aproximado de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Escrever a equação da aproximação linear (linearização) de
no ponto . - (b) Usar essa aproximação linear para calcular um valor aproximado de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida para com denominador diferente de zero; no ponto o denominador é , portanto é bem definida e diferenciável em . - O ponto de expansão é
. - O ponto onde se quer aproximar é
(ou seja, ).
Passo 2
O que é a aproximação linear (tangente)? Explicação sucinta e fórmula.
- A aproximação linear de uma função de várias variáveis em torno de um ponto
é a equação do plano tangente a nesse ponto. Ela fornece uma boa aproximação de para pontos próximos a . - A fórmula geral é
onde
são as derivadas parciais de
.
- Interpretação:
quando está perto de . A diferença é do tipo pequeno (termos de ordem superior).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
usando regra do quociente. Defina o denominador
Então
Derivada parcial em relação a
: aplicar a regra do quociente
com
e
.
-
. -
.
Portanto
Derivada parcial em relação a
: simetricamente,
-
, -
,
logo
Derivada parcial em relação a
:
-
(porque não depende de ), -
,
logo
Passo 4
Agora avaliamos
e as derivadas parciais no ponto
.
Calcule primeiro
:
Valor da função:
Derivadas parciais no ponto:
Passo 5
Escrevendo a aproximação linear usando os valores calculados:
Essa é a equação do plano tangente (a aproximação linear) de
em
.
Passo 6
Agora usamos
para aproximar
em
. Primeiro note os incrementos
Substituindo em
:
Portanto a aproximação linear dá exatamente
para esse ponto (houve cancelamento exato dos termos lineares).]