QUESTÃO
: Seja
:
a) Determine o domínio de
.
b) Determine a imagem de
.
c) Identifique os traços do gráfico de
.
d) Identifique as curvas de nivel.
e) Faça o esboço do gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine a imagem de
c) Identifique os traços do gráfico de
d) Identifique as curvas de nivel.
e) Faça o esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede cinco coisas:
a) determiner o domínio de ;
b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de );
c) identificar os traços (secções) do gráfico de ;
d) identificar as curvas de nível de ;
e) fazer um esboço do gráfico de .
a) determiner o domínio de
b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
c) identificar os traços (secções) do gráfico de
d) identificar as curvas de nível de
e) fazer um esboço do gráfico de
Informações explícitas fornecidas:
- A fórmula da função é
. - Não há restrições adicionais no enunciado (nenhuma raiz, divisão por variável, logaritmo, etc.).
Passo 2
O que é domínio e como determiná-lo (aula rápida, passo a passo).
- Definição: o domínio de uma função de duas variáveis
é o conjunto de pares para os quais a expressão que define faz sentido (está bem definida). - Regras práticas: expressões polinomiais e somas/subtrações estão sempre definidas para todos os reais; problemas só aparecem quando há divisão por zero, radicais de índice par com argumento negativo, logaritmos de argumento não positivo, etc.
- Aplicando ao nosso caso: a expressão
é um polinômio em (e não depende de além de ser parâmetro livre). Não há divisão, raiz ou logaritmo. Portanto a expressão está definida para todo e todo .
Conclusão deste passo (resultado para a letra a):
- O domínio é todo o plano
, isto é .
Passo 3
O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como achar (aula rápida).
- Definição: a imagem (ou conjunto imagem) de
é o conjunto de valores reais que a expressão pode assumir quando percorre o domínio. - Para a nossa função
note que o valor depende só de , não de . Então basta estudar a função de uma variável .
Análise de
:
- Sabendo que
para todo , temos . Ou seja, é um valor máximo possível. - Quando
obtemos , então é realmente atingido. - Quando
, e portanto . Isso mostra que todos os valores suficientemente negativos são assumidos. - Logo o conjunto de valores é unbounded abaixo e tem máximo
.
Conclusão deste passo (resultado para a letra b):
- A imagem é o intervalo
.
Passo 4
O que são traços (explicação didática) e como encontrá-los.
- Definição: traços (ou secções) de um gráfico
são as interseções da superfície com planos do tipo constante ou constante (às vezes também com planos coordenados como constante). Eles ajudam a visualizar a superfície em fatias. - Procedimento: fixar
e ver o que sobra em ; fixa e ver o que sobra em .
Traços para
:
-
Traço para
fixo: substituindo não aparece na fórmula, então Esse traço, visto no plano, é uma parábola com vértice em e que abre para baixo (porque coeficiente de é negativo). Observação: esse mesmo perfil ocorre para qualquer ; portanto a parábola é “a mesma” para todas as fatias em . -
Traço para
fixo: substituindo obtemos Ou seja, para cadaa interseção é uma reta paralela ao eixo (no plano é uma linha horizontal no nível ).
Traços com planos coordenados (casos úteis):
- Interseção com o plano
: resolver dá . Assim a interseção é a união de duas retas e (linhas paralelas ao eixo ). - Interseção com o plano
: dá a reta (reta no nível , paralela ao ). - Interseção com o plano
: dá a parábola no plano (o perfil vertical da superfície).
Passo 5
Curvas de nível (níveis) — definição e cálculo.
- Definição: curvas de nível para um valor
são os conjuntos no plano . Elas mostram onde a superfície tem altura . - Aqui
. Igualando a um nível obtemos - Para que existam soluções reais devemos ter
, isto é .
Soluções:
- Se
então . Como não aparece, é livre: cada nível corresponde a duas retas horizontais no plano : e . - Se
então : a curva de nível é a reta (toda a reta livre, isto é, o eixo ). - Se
não há pontos com essa altura.
Exemplos concretos (para fixar):
- Para
: curva de nível é . - Para
: (duas retas). - Para
: (duas retas).
Passo 6
Interpretação geométrica e comparação com objetos conhecidos (ajuda para o esboço).
- A função não depende de
. Isso significa que o gráfico é obtido levando a parábola (no plano , por exemplo) e “arrastando” essa parábola ao longo do eixo . O resultado é uma superfície chamada de cilindro parabólico (ou parabolic cylinder) com geratriz paralela ao eixo . - Propriedades visuais:
- Vértice do cilindro: ao longo da reta
(a parábola tem vértice em para todo ). - Abertura para baixo em direção ao
quando . - Para cada valor
a secção horizontal corta a superfície em duas retas (paralelas ao eixo ) localizadas nas alturas .
- Vértice do cilindro: ao longo da reta
Passo 7
Como esboçar passo a passo (guiado para fazer à mão na prova).
- Desenhe um sistema de eixos: eixo
horizontal para a direita, eixo horizontal para a frente (ou à esquerda), e vertical para cima — ou use a projeção acostumada no caderno (eixos à direita, saindo para cima do papel e vertical). - No plano
desenhe a parábola : vértice em , interceptos com em , abre para baixo. - Agora imagine essa parábola deslocada para cada valor de
— isto é, para cada existe a mesma parábola no plano constante. Trace algumas cópias (por exemplo em ) para dar a ideia de uma “folha” que se estende ao longo de . - Desenhe também algumas curvas de nível no plano
: por exemplo linhas (nível ), (nível ) para ligar a visão bidimensional com a superfície. - Termine sombreando levemente a superfície e indicando que ela vai para
conforme .
Observação final: o esboço deve lembrar uma parábola no plano
estendida indefinidamente ao longo do eixo
— é um cilindro parabólico aberto para baixo.
Resposta
a) Domínio:
b) Imagem:
c) Traços: para fixo,
(parábola em
, mesma para todo
); para
fixo,
(reta paralela ao eixo
no nível
). Em particular, interseção com
ocorre em
(duas retas paralelas ao eixo
), e interseção com
é a reta
.
d) Curvas de nível: para ,
dá
(linhas horizontais no plano
com
livre); para
não existem curvas de nível. Para
a curva é
.
e) Esboço: superfície é um cilindro parabólico obtido ao extrudar a parábola ao longo do eixo
; vértice ao longo da reta
, abre para baixo e estende-se indefinidamente em
e para
quando
.
b) Imagem:
c) Traços: para
d) Curvas de nível: para
e) Esboço: superfície é um cilindro parabólico obtido ao extrudar a parábola