QUESTÃO 2(2,5) : Seja f(x, y)=4-y^{2} :
a) Determine o domínio de f(x, y).
b) Determine a imagem de f(x, y).
c) Identifique os traços do gráfico de f(x, y).
d) Identifique as curvas de nivel.
e) Faça o esboço do gráfico de f(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=4-y^{2} e pede cinco coisas:
a) determiner o domínio de f;
b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f);
c) identificar os traços (secções) do gráfico de f;
d) identificar as curvas de nível de f;
e) fazer um esboço do gráfico de f.
Informações explícitas fornecidas:
  • A fórmula da função é f(x,y)=4-y^{2}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado (nenhuma raiz, divisão por variável, logaritmo, etc.).

Passo 2

O que é domínio e como determiná-lo (aula rápida, passo a passo).
  • Definição: o domínio de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida).
  • Regras práticas: expressões polinomiais e somas/subtrações estão sempre definidas para todos os reais; problemas só aparecem quando há divisão por zero, radicais de índice par com argumento negativo, logaritmos de argumento não positivo, etc.
  • Aplicando ao nosso caso: a expressão 4-y^{2} é um polinômio em y (e não depende de x além de ser parâmetro livre). Não há divisão, raiz ou logaritmo. Portanto a expressão está definida para todo x\in\mathbb{R} e todo y\in\mathbb{R}.
Conclusão deste passo (resultado para a letra a):
  • O domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}, isto é \{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

O que é imagem (ou contradomínio efetivo) e como achar (aula rápida).
  • Definição: a imagem (ou conjunto imagem) de f é o conjunto de valores reais z que a expressão z=f(x,y) pode assumir quando (x,y) percorre o domínio.
  • Para a nossa função z=4-y^{2} note que o valor depende só de y, não de x. Então basta estudar a função de uma variável g(y)=4-y^{2}.
Análise de g(y)=4-y^{2}:
  • Sabendo que y^{2}\ge 0 para todo y, temos 4-y^{2}\le 4. Ou seja, 4 é um valor máximo possível.
  • Quando y=0 obtemos g(0)=4, então 4 é realmente atingido.
  • Quando |y|\to\infty, y^{2}\to\infty e portanto 4-y^{2}\to -\infty. Isso mostra que todos os valores suficientemente negativos são assumidos.
  • Logo o conjunto de valores é unbounded abaixo e tem máximo 4.
Conclusão deste passo (resultado para a letra b):
  • A imagem é o intervalo \left(-\infty,\,4\right].

Passo 4

O que são traços (explicação didática) e como encontrá-los.
  • Definição: traços (ou secções) de um gráfico z=f(x,y) são as interseções da superfície com planos do tipo x= constante ou y= constante (às vezes também com planos coordenados como z= constante). Eles ajudam a visualizar a superfície em fatias.
  • Procedimento: fixar x=x_{0} e ver o que sobra em (y,z); fixa y=y_{0} e ver o que sobra em (x,z).
Traços para f(x,y)=4-y^{2}:
  1. Traço para x=x_{0} fixo: substituindo x=x_{0} não aparece na fórmula, então
    z=4-y^{2}.
    Esse traço, visto no plano (y,z), é uma parábola com vértice em (y,z)=(0,4) e que abre para baixo (porque coeficiente de y^{2} é negativo). Observação: esse mesmo perfil ocorre para qualquer x_{0}; portanto a parábola é “a mesma” para todas as fatias em x.
  2. Traço para y=y_{0} fixo: substituindo y=y_{0} obtemos
    z=4-y_{0}^{2}=\text{constante}.
    Ou seja, para cada y_{0} a interseção é uma reta paralela ao eixo x (no plano (x,z) é uma linha horizontal no nível z=4-y_{0}^{2}).
Traços com planos coordenados (casos úteis):
  • Interseção com o plano z=0: resolver 4-y^{2}=0 y=\pm 2. Assim a interseção é a união de duas retas \{(x,y,z)\mid y=2,\,z=0\} e \{(x,y,z)\mid y=-2,\,z=0\} (linhas paralelas ao eixo x).
  • Interseção com o plano y=0: dá a reta \{(x,0,4)\} (reta no nível z=4, paralela ao x).
  • Interseção com o plano x=0: dá a parábola z=4-y^{2} no plano x=0 (o perfil vertical da superfície).

Passo 5

Curvas de nível (níveis) — definição e cálculo.
  • Definição: curvas de nível para um valor k são os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} no plano xy. Elas mostram onde a superfície tem altura z=k.
  • Aqui f(x,y)=4-y^{2}. Igualando a um nível k obtemos 4-y^{2}=k \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=4-k.
  • Para que existam soluções reais devemos ter 4-k\ge 0, isto é k\le 4.
Soluções:
  • Se k<4 então y=\pm\sqrt{4-k}. Como x não aparece, x é livre: cada nível k<4 corresponde a duas retas horizontais no plano xy: y=+\sqrt{4-k} e y=-\sqrt{4-k}.
  • Se k=4 então y=0: a curva de nível é a reta y=0 (toda a reta x livre, isto é, o eixo x).
  • Se k>4 não há pontos com essa altura.
Exemplos concretos (para fixar):
  • Para k=4: curva de nível é y=0.
  • Para k=0: y=\pm 2 (duas retas).
  • Para k=-5: y=\pm 3 (duas retas).

Passo 6

Interpretação geométrica e comparação com objetos conhecidos (ajuda para o esboço).
  • A função não depende de x. Isso significa que o gráfico é obtido levando a parábola z=4-y^{2} (no plano x=0, por exemplo) e “arrastando” essa parábola ao longo do eixo x. O resultado é uma superfície chamada de cilindro parabólico (ou parabolic cylinder) com geratriz paralela ao eixo x.
  • Propriedades visuais:
    • Vértice do cilindro: ao longo da reta \{(x,0,4)\mid x\in\mathbb{R}\} (a parábola tem vértice em y=0,z=4 para todo x).
    • Abertura para baixo em direção ao z\to -\infty quando |y|\to\infty.
    • Para cada valor z=k\le 4 a secção horizontal z=k corta a superfície em duas retas (paralelas ao eixo x) localizadas nas alturas y=\pm\sqrt{4-k}.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (guiado para fazer à mão na prova).
  1. Desenhe um sistema de eixos: eixo x horizontal para a direita, eixo y horizontal para a frente (ou à esquerda), e z vertical para cima — ou use a projeção acostumada no caderno (eixos x à direita, y saindo para cima do papel e z vertical).
  2. No plano x=0 desenhe a parábola z=4-y^{2}: vértice em (y,z)=(0,4), interceptos com z=0 em y=\pm 2, abre para baixo.
  3. Agora imagine essa parábola deslocada para cada valor de x — isto é, para cada x existe a mesma parábola no plano x= constante. Trace algumas cópias (por exemplo em x=-1,0,1) para dar a ideia de uma “folha” que se estende ao longo de x.
  4. Desenhe também algumas curvas de nível no plano xy: por exemplo linhas y=0 (nível 4), y=\pm 2 (nível 0) para ligar a visão bidimensional com a superfície.
  5. Termine sombreando levemente a superfície e indicando que ela vai para z\to -\infty conforme |y|\to\infty.
Observação final: o esboço deve lembrar uma parábola no plano yz estendida indefinidamente ao longo do eixo x — é um cilindro parabólico aberto para baixo.

Resposta

a) Domínio: \{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\\ y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{2}.
b) Imagem: \left(-\infty,\,4\right].
c) Traços: para x=x_{0} fixo, z=4-y^{2} (parábola em (y,z), mesma para todo x_{0}); para y=y_{0} fixo, z=4-y_{0}^{2} (reta paralela ao eixo x no nível z=4-y_{0}^{2}). Em particular, interseção com z=0 ocorre em y=\pm 2 (duas retas paralelas ao eixo x), e interseção com y=0 é a reta z=4.
d) Curvas de nível: para k\le 4, f(x,y)=k y=\pm\sqrt{4-k} (linhas horizontais no plano xy com x livre); para k>4 não existem curvas de nível. Para k=4 a curva é y=0.
e) Esboço: superfície é um cilindro parabólico obtido ao extrudar a parábola z=4-y^{2} ao longo do eixo x; vértice ao longo da reta \{(x,0,4)\}, abre para baixo e estende-se indefinidamente em x e para z\to-\infty quando |y|\to\infty.

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